●双子のパラドックス    

 慣性系によって時計の進み方が異なるということは、われわれの日常経験ではないことであり、一見矛盾を内包しているようにみえることがある。時間に関係して一見矛盾しているような思考実験はいろいろ考えられており、一般に時計のパラドックスとよばれている。これらのいわゆるパラドックスは、よく考えてみると、結局矛盾ではないことがわかる。ここでいう時計は、時間の経過をあらわす現象ならば何でもよいので、二個の時計のかわりに双子を使い、双子のパラドックスとよばれる問題もある。
 双子をAとBとして、Aは地球の基地におり、Bはロケットに乗って、地球からl0の距離にある星Cへ向かって速さVで出発したとする。このときAからみるとBは速さVで移動しているから、Aの時間にくらべてBの時計はゆっくり進む。Bが地球を出発して星Cに到着するまでの時間を地上のAの時計でΔtAとし、Bの時計でΔtBとすれば

・・・・・・・・・・(5.58)

となる(「運動している棒と時計の挙動」参照)。そこで、Bが星Cに到達して、ただちにロケットの向きを逆にして同じ速さVで地球に戻ったとする。この復路でもBはAに対して速度Vで運動しているから、往路と同じだけの時間が経過する。したがってBが星Cまで往復するのに要する時間はであって、これはAの時間で測った往復時間2ΔtAよりも短い。ゆえにロケットの人Bは地上の人Aほどには年をとらないわけである。速度Vを光速に近づければ、Bは浦島太郎のような経験をするだろう。
 しかし、運動は相対的であるから、ロケットのBが静止していて、地球のAの方が動いていると考えてもよいではなかろうか。こう考えると上の結論とは逆にとなり、Aの方がBよりも年をとらないことになるが、これは矛盾である。これを双子のパラドックスというのである。
 この推論には誤りがあり、ロケットのBの方が地球のAよりも年をとらないというのが本当である。AとBが同じ資格を持っていると考えるのは正しくないのである。Aは慣性系である地球に止まっているが、Bはロケットをふかしたり、止めて逆向きにふかしたりして加速度運動をしている。加速度運動をしている系を基準にして特殊相対性理論の公式を適用することはできないから、BよりAの方が年をとらないと主張することはできないのである。
 しかし、Bは一定の速さVで進むロケットに乗って星Cまで行き、ここで逆向きに飛んでいる別のロケットに飛び乗って地球までの戻ってくると考えてもよいわけである。この旅行を世界線で描くと下の図のようになる。

往復運動の世界線

ここで地球を原点にとり、星Cの方向をx軸としている。この図でロケットから見た同時刻の線は、星Cへ向かっているときはDFに平行な線であり、地球へもどってくるときはGFに平行な線である。したがって、ロケットをとりかえた瞬間にBからみたAの世界線の同時刻の点がDからGへ跳ぶことになる。相対的にBから見てAの方が年をとらないように思うのはAの固有時のODとGHしか計算に入れていないので、Aの経験する時間としてはDGを加えなければならない。このようにして(5.58)の結論には矛盾は含まれていないことがわかる。またΔtAはOE間およびEH間のAの固有時間であり、ΔtBはOF間およびFH間のBの固有時間であるから、上に証明したように

ΔtB < ΔtA

であることは、ミンコフスキーの世界の三角不等式(5.31)が成立しているを意味している。
 上で説明した例はロケットによる思考実験であるが、素粒子実験では運動する物体の寿命が伸びることが実際に観測されている。たとえば宇宙線の空気との相互作用により発生するミューオン平均寿命はミューオンに対して静止した観察者に対してτ=2.20×10-6sであるから、この時間内では光速c=3.00×108m/sで走ってもcτ=6.60×102=660mしか走れないことになる。しかし実際には遙か上空で作られたミューオンが地上で観測されている。このことを理解するためにミューオンの速さをV=0.999cと仮定すると寿命は

となるので、飛行距離はまで延びることになる。(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店より)  

なお、下図も参考されたい。(KM)

ローレンツ逆変換を用いた往復運動の世界線
 

O'に達する光の発射時刻

tanθ=v/cとする。
θは0度より大きく45度より小さい角度をとる。その際点O'はOから発した光の軌跡の漸近線上を移動する。そしてO'において双子Bに達する光の発射時刻は双子Aにとって常に(1-v/c)γ秒である。

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