●第11章 ローレンツ変換(Die LORENTZ-Transformation)

 前の三つの章『物理学における時間の概念について』『同時性の相対性』『空間的距離の相対性について』の考察で明らかになったことだが、第7章『光の伝播(でんぱ)法則と相対性原理の見かけ上の不一致』で、光の伝播速度(Ausbreitungsgesetz des Lichtes)との相対性原理(Relativitätsprinzip)とが、見かけ上、不一致を起こしたのは、ある考えから導かれてのことであった。その考えとは、理屈に合わない(durch nichts gerechtfertigt:なにものにも正当化されない)二つの仮説を古典力学から借りてくるというものであった。二つの仮説とは、こうである。

 (1) 二つの出来事の時間的へだたりは、基準体の運動状態には関係しない。
 (2) 剛体の二点間の空間的へだたりは、基準体の運動状態には関係しない。

 いまこれらの仮説を捨ててしまえば、第6章『古典力学にもとづく速度の加法定理』の速度の加法定理が適用しなくなるのだから、第7章『光の伝播法則と相対性原理の見かけ上の不一致』のディレンマは消えてしまう。そして、真空中の光の伝播法則と相対性原理とが一致できる、という可能性が浮かび上がってくる。われわれは次の問いに至る。すなわち、経験から出たこれらの二つの基本的な結果の間にある見かけ上の矛盾をとりのぞくには、第6章『古典力学にもとづく速度の加法定理』の考察を、どのように修正すべきだろうか? この問いは、さらに一般的な問いへと導かれる。第6章『古典力学にもとづく速度の加法定理』の考察では場所と時刻は、列車を基準としたものと、軌道堤を基準としたものとが現れる。ある出来事の列車を基準とした場所と時刻を、その出来事の軌道堤を基準とした場所と時刻がわかっているとき、どうすれば見つけることができるだろうか? この問いに対する答えとして、真空中の光の伝播(でんぱ)法則が、相対性原理と矛盾しないようなものが、存在すると考えられるだろうか? いいかえると、軌道堤に対して相対的にかつ列車に対して相対的に、すべての光線が伝播(でんぱ)速度をとるようにして、それぞれの出来事の場所と時間の関係を、両方の基準体を基準として、考えられないだろうか? この問いから、それを肯定するまったく確かな答え、すなわち、基準体を一方から他方へ移すさい、ある出来事の空間と時間の量(Raum-Zeit-Größen)に関する完全に明確な変換法則へと導かれるのである。(原文:Wie findet man Ort und Zeit eines Ereignisses in bezug auf den Zug, wenn Ort und Zeit des Ereignisses in bezug auf den Bahndamm bekannt sind? Gibt es eine solche denkbare Antwort auf diese Frage, daß gemäß dieser Antwort das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum dem Relativitätsprinzip nicht widerspreche? Anders ausgedrückt: Ist eine Relation zwischen Ort und Zeit der einzelnen Ereignisse in bezug auf beide Bezugskörper denkbar, derart, daß jeder Lichtstrahl relativ zum Bahndamm und relativ zum Zug die Ausbreitungsgeschwindigkeit c besitzt? Diese Frage führt zu einer bejahenden, ganz bestimmten Antwort, zu einem ganz bestimmten Verwandlungsgesetz für die Raum-Zeit-Größen eines Ereignisses beim Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen.)
 このことに立ち入る前に、その準備として次のような中間考察(Zwischenüberlegung)をはさんでおこう。われわれは、これまで軌道堤に沿って起こった出来事だけを、つねに取り扱ってきた。それは、数学的には直線関数(Funktion einer geraden Linie)にならなければならなかった。しかし、われわれは、第2章『座標系』で示されたように、この基準体を、棒の枠組(Stabgerüst)によって横にも上にも連続していると考えることができる。よって、どこで起こる事象の場所も、棒の枠組に対して相対的に位置づけすることができる(lokalisiert werden kann)と考えることができる。同じように、われわれは、速度vで走る列車が、全空間を連続していると考えることができる。その結果、さらに遠方の事象を、その第2の枠組を基準にして位置づけできよう。(Man kann sich aber in der Paragraph 2 angegebenen Weise diesen Bezugkörper seitlich und nach oben durch ein Stabgerüst derart fortgesetzt denken, daß ein irgendwo stattfindendes Ereignis relativ zu diesem Stabgerüst lokalisiert werden kann. Analog kann man sich den mit der Geschwindigkeit v fahrenden Zug durch den ganzen Raum fortgesetzt denken, so daß jedes noch so ferne Ereignis auch in bezug auf das zweite Gerüst lokalisiert werden könnte.『しかし第2章で与えられた方法で、この基準体が棒の枠組によって横にも上にも延びていて、どこで起こる事象でもその場所を棒の枠組によって決定しうると考えることができる。同じように、速度vをもって走っている列車が全空間に延びていると考え、どんなに離れた事象の位置でもこの第二の枠組をもとに決めることができる。金子務訳』)。本当なら、これら二つの枠組は、固体の不加入性(Undurchdringlichkeit der festen Körper)によって、常に、たがいに壊し合うはずであるが、それは度外視してもよい。なぜなら、それでも根本的な誤りを犯すことにはならないだろうからである。そのような枠組みに互いに垂直な三つの壁が迫り上げられると考え、それを「座標面」("Koordinatenebene")(座標系:Koordinatensystem)と呼ぼう。軌道堤には座標系が、列車には座標系K'が対応する。どこで起きる出来事でも、に関しては、空間的には座標面におろした三垂線x、y、zによって位置づけられ(fixieren)、時間的には一つの時間値によって確定される(fixieren)。同じ出来事は、K'に関しては時空的に(raum-zeitlich)x、y、z、tとは当然一致しないが、K'に対応する値x'、y'、z'、t'によって確定される(fixieren)。物理的測定の結果として、これらの大きさが、どれほどであると考えられるかは、すでに詳しく考察した。
 われわれの問題は、厳密に定式化すれば、明らかに、次のようになるだろう。を基準とした出来事の大きさx、y、z、tが与えられているとき、同じ出来事のK'を基準とした値x'、y'、z'、t'はどのような大きさになるであろうか? KとK'を基準にして一本の同じ光線が(そしてまた、すべての光線についても)光の真空伝播法則を満足させるように、それら二つの関係を選ばなければならない(Die Beziehungen müssen so gewählt wrden, daß dem Gesetz der Vakuumfortpflanzung des Lichtes für einen und denselben Lichtstrahl (und zwar für jeden) in bezug auf K und K' Genüge geleistet wird.)。この問題は下の図

に示すように座標系が相対的空間的方向付け(Orientierung)にあるとき、次のような方程式によって解かれる。すなわち---

 この方程式群(Gleichungssystem)は「ローレンツ変換(Die LORENTZ-Transformation)」と呼ばれている。*
 しかし、光の伝播法則のかわりに、古典力学が、絶対的な時間と空間の特性について(von dem absoluten Charakter)暗黙に仮定してきたことを基礎にするとしたら、これらの変換方程式のかわりに次の方程式

x'=x-vt

y'=y

z'=z

t'=t

が成立する。この一組の式は、しばしば「ガリレイ変換(Die GALILEI-Transformation)」と呼ばれている。ローレンツ変換において、光速がみな等しく無限大になるとすると、ガリレイ変換が得られる。
 ローレンツ変換によれば、真空中の光の伝播法則は、基準体についても基準体K'についても同じように満たされる。このことを知るには、つぎの例をみると好都合である。ある光信号がx軸の正方向に送られるとせよ。この光の励起(れいき)現象(Lichterregung)は、方程式

x=ct

に従って、すなわち速度で前方へ伝わる。ローレンツ変換の方程式によれば、の間のこの簡単な関係が、x't'との関係を定める。実際にローレンツ変換の第1式と第4式は、その中ののかわりに値ctを代入するならば、

となり、それから割り算によって、ただちに

x'=ct'

が出てくる。以上の式から、座標系K'を基準とするときの光の伝播が得られる。したがってまた、基準体K'に対して相対的な伝播速度が、やはりであることがわかる。他の任意の方向に伝わるする光線についても同様である。このことは、この観点からまさに、ローレンツ変換の方程式が導かれたのだから、当然であり、驚くにはあたらない。

*ローレンツ変換の簡単な導き方は「付記」にある。(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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