●ローレンツ変換の簡単な導き方(付記より)(Einfache Ableitung der LORENTZ-Transformation)
(第11章の補遺)
 
 上の図に示した座標系(訳注:KおよびK')の相対的な位置決め(Orientierung:方向付け)では、両系の(訳注:座標系KおよびK'の)X軸が常に重なっている。ここで問題を分けて、さしあたってX軸上にかぎって起こる出来事だけを考察することにする(Wir können hier das Ploblem teilen, indem wir zunächst nur Ereignisse betrachten, die auf der X-Achse lokalisiert sind.)。そのような出来事は、座標系については横座標(die Abszisse x)と時間t(die Zeit t)によって、座標系K'については横座標x'(die Abszisse x')と時間t'(die Zeit t')によって与えられる。xtが与えられれば、x't'が求められる。
 X軸の正方向に沿って進む光信号は方程式

x=ct

あるいは

x-ct=0・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

によって伝わる。この同じ光信号はまたK'に対しても相対的に速度cで伝わるのであるから、K'に対して相対的な伝わりは同様な式

x'-ct'=0・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

と書くことができよう。(1)を満足させる同じ空間-時間点(Raum-Zeit-Punkte)(出来事)は、(2)をも満足させなければならない。これは明らかに、一般に次の関係式

x'-ct'=λ(x-ct)・・・・・・・・・・・・・・・(3)

が満たされる場合である。ここでλ(ラムダ)は一つの定数である。なぜならば、(3)によれば、x-ctの項の消去(Verschwinden)がx'-ct'の消去の条件となるからである。
 負の軸方向に伝わる光線にも、まったく同様の考察があてはまり次の条件

x'+ct'=μ(x+ct)・・・・・・・・・・・・・・(4)

を与える。
 方程式(3)と(4)を加え、または引き、そのさい実数λ(ラムダ)とμ(ミュー)のかわりに便宜上、定数

を導入すれば、(3)+(4) により

2x'=λx-λct+μx+μct

=(λ+μ)x-(λ-μ)ct

x'=ax-bct

(4)-(3)により

2ct'=μx+μct-λx+λct

=(λ+μ)ct-(λ-μ)x

ct'=act-bx

すなわち

・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

が得られる。
 したがって定数abがわかれば、われわれの問題は解けることになる。これは、次のような考察によって与えられる。
 K'の原点についてはつねにx'=0だから、方程式(5)の最初の式から

 いまK'の原点をKに対して相対的に動く速度をvと呼べば、すなわち

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

となる。
 Kに対して相対的なK'のもう一つ別の点の速度、またはK'に対するKの一点の(軸の負の方向の)速度を計算すると、(5)から相等しいvの値が得られる。したがって、vを簡単に両系の相対速度と呼ぶことができる。
 さらに、K'に対して静止しているKから判断される単位測量棒の長さと、Kに対して静止しているK'から判断される単位測量棒の長さは、互いにまったく同一でなければならないことは、相対性原理によって明らかである。X'軸の点がKから考察してどのように見えるかを知るためには、KからK'の「瞬間写真(Momentaufnahme)」を撮ってやりさえすればよい。すなわち、このことはtKの時刻)にある値、たとえばt=0を代入する必要があることを意味する。そうすると式(5)の最初の式より

x'=ax

が得られる。
 K'で測って距離x'=1をもつX'軸上の二点は、したがってわれわれの瞬間写真上では、距離

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

となる。逆にK'から瞬間写真を撮るならば(t'=0)、(6)を考慮にいれ(5)からtを消去すると、次の式が得られる。

 これから(Kに対して相対的な)距離1のX軸上の二点は、われわれの瞬間写真上では、距離

・・・・・・・・・・・・・・・・(7a)

をもつと結論される。
 以上に述べたことから、二つの瞬間写真は同じでなければならないから、(7)のΔxは(7a)のΔx'と等しいはずであり、したがって次式が得られる。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7b)

 方程式(6)と(7b)から定数abが決まる。(5)にこれらを代入すれば『第11章 ローレンツ変換』で与えられた第1式と第4式が得られる。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

 こうして、X軸上の出来事に対するローレンツ変換が得られた。それは条件

x'2-c2t'2=x2-c2t2・・・・・・・・・・・・・・・・(8a)

を満足する。
 X軸上ではなく、その外側で起こる出来事にこの結果を拡張するには、方程式(8)を、そのまま使って、さらに

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

という関係を付け加える。任意のどの方向の光線についても真空中の光速度不変という公準(Postulat)が、座標系KについてもK'についても満足することは、次のようにしてわかる。
 時刻t=0に光信号がKの原点から送られるとする。その伝播(でんぱ)は方程式

に従って起こる。あるいは、この式を二乗して得られる次の方程式による。

x2+y2+z2-c2t2=0・・・・・・・・・・・・・・・(10)

 光の伝播(でんぱ)法則は相対性の公準と結びついて、同じ信号のひろがり---K'から判断して---が相対応する式

r'=ct'

あるいは

x'2+y'2+z'2-c2t'2=0・・・・・・・・・・・・・・(10a)

によって起こることを要求する。方程式(10a)が方程式(10)の結果であるためには、

x'2+y'2+z'2-c2t'2=σ(x2+y2+z2-c2t2)・・・・(11)

でなければならない。  
 X軸上の点については方程式(8a)があてはまるから、σ=1でなければならない。ローレンツ変換が方程式(11)をσ=1ということで実際に満足させることは、容易にわかる。すなわち、(11)は(8a)と(9)からの一つの結果であり、したがってまた(8)と(9)からの一つの結果である。こうしてローレンツ変換が導かれる。
 (8)と(9)によって表されるローレンツ変換は、さらに一般化を必要とする。K'の軸をKのそれと空間的に平行になるように選ぶということは、明らかに本質的なことではない。また、Kに対するK'の変位速度(Translationsgeschwindigkeit:並進運動速度)がX軸上の方向をもつことも、本質的ではない。この一般的な意味でのローレンツ変換は---ちょっと考えればわかるように---二重の変換によって合成される。すなわち特殊な意味でのローレンツ変換と、直交座標系を他の角度をもった新しい座標系によって表す純粋に空間的な変換、という二つである(Man kann die LORENTZ-Transformation in diesem allgemeinen Sinne --- wie eine einfache Überlegung ergibt --- zusammensetzen aus zweierlei Transformationen, nämlich aus LORENTZ-Transformation im speziellen Sinne und aus rein räumlichen Transformationen, welche der Ersetzung des rechtwinkligen Koordinatensystems durch ein neues mit anders gerichteten Achsen entsprechen. 直訳すれば:この一般的な意味でのローレンツ変換は---ちょっと考えればわかるように---二種の変換によって合成できる。すなわち、特殊な意味でのローレンツ変換と、他の角度の軸を持った新たな座標系による直交座標系の代用に応じる純粋に空間的な変換とである。)。
 一般化されたローレンツ変換は、数学的には、次のように性格づけられる。すなわち、それは、x'、y'、z'、t'x、y、z、tの線型同次関数(Mathematisch läßt sich die verallgemeinerte LORENTZ-Transformation so charakterisieren: Sie drückt x', y', z', t' durch derartige lieare homogene Funktionen von x, y, z, t aus, daß...)で、

x'2+y'2+z'2-c2t'2=x2+y2+z2-c2t2・・・・・・・(11a)


という関係が、恒等的に(identish)満たされるように表されるようにである。これは、式の左辺にx', y', z', t'のかわりにx、y、z、tによる表示(Ausdrück)を代入すれば、(11a)の左辺がその右辺と一致する、という意味である。(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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