●第12章 運動している棒と時計の挙動(Das Verhalten bewegter Stäbe und Uhren)

(参照:ローレンツ変換式)

 座標系K'x'軸に沿って、メートル棒を始点が点x'=0に、終点がx'=1に重なるように置く。では、座標系Kに対して相対的なメートル棒の長さは、どれほどになるか? これを知るためには、座標系に対して、相対的な測量棒の始点と終点が、ある一定の時間tに座標系Kのどこにあるか、を問いさえすればいい。ローレンツ変換の最初の式から、時間t=0のときこれらの二点を求めることができる、すなわち、

この二点間の距離は

である。いま、メートル棒は、Kに対してに相対的に速度vで動かされている。したがって、速度vで棒の長さの方向に動く固いメートル棒の長さは

m

となることがわかる。それゆえ、運動する棒は同じ静止状態にあるときの棒よりも短くなり、しかも、運動が速くなればなるほど、それだけ短くなるのである。速度v=cとなると

になり、さらに速度が大きくなると平方根(Wurzel)は虚数(imaginär)になる。そのことから、相対性理論では、速度cは現実の物体にとって、到達できずまた超えられない一つの限界速度の役(die Rolle einer Grenzgeschwindigkeit)をつとめている、と結論される。
 ところで、速度cが限界値の役を演ずることは、すでにローレンツ変換の式自体から導かれることである。というのは、ローレンツ変換式はvcよりも大きい値をとれば、無意味になるからである。
 逆に、Kx軸に相対的に静止しているメートル棒を考えたとしてら、K'から判断して長さが

になることを見出したことだろう。このことは、われわれの考察の根底においた相対性原理に完全に合致する。
 ローレンツ変換の方程式から測量棒と時計の物理的な挙動について、何かが知れるに違いないことは、ア・プリオリに(a priori:先験的に)明白なことである。というのは、x、y、z、tの大きさは、まったく測定棒と時計によって得られるはずの測定結果(zu gewinnende Meßresultat)にほかならないからである。もしもガリレイ変換(GALILEI-Transformation)に基づいたならば、運動にともなって測定棒が短縮するとはいえなかったであろう。
 さて、K'の原点(x'=0)に持続的に静止している秒時計(Sekundenuhr)が一つあると考えよう。この時計がつづけて刻む二つのカチ・カチ(zwei aufeinander folgende Schläge)を、t'=0とt'=1とせよ。この二つのカチ・カチに対し、ローレンツ変換の第1と第4の式はつぎのようになる。

t=0

および

 Kから判断して、時計は速度vで動かされている。すなわち、この基準点から判断すると、この時計のカチ・カチの間に1秒が経過するのではなくて

であり、したがっていくらか長い時間になる。時計の進みは、静止状態よりも運動中の方がゆるやかなのである。ここでもまた、光速度cが到達不能な限界速度の役を演じている。(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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