●第17章 ミンコフスキーの四次元空間(MINKOWSKIS vierdimensionaler Raum)

 数学者でない者が「四次元」と聞くと、ある神秘的な戦慄、舞台の幽霊が生む、それに似ていなくもない感情にとらえられる。にもかかわらず、われわれの住む世界は四次元の時空連続体(ein vierdimensionales zeiträumliches Kontinuum)であるということほど、平凡な(banal)言明もないのである。
 空間は三次元連続体である。このことは、以下のことを意味している。一つの(静止する)点の位置(die Lage eines (ruhenden) Punktes)が、三つの数(座標)x、y、zで記述できること、および、すべての点に任意に「隣合う」点が存在すること(daß es zu jedem Punkte beliebig "benachbarte" Punkute gibt)、そして、その位置は、座標値(座標)x1、y1、z1で表すことができること、さらに、そのx1、y1、z1は、先に示した(点の)座標x、y、zに任意に接近することができること、を。このような性質(Eigenschaft)のゆえに、われわれは「連続体(Kontinuum)」といい、座標が三つの数からなるので、「三次元(dreidimensional)」という。
 同じように物理現象の世界は、ミンコフスキーによれば、たんに「世界」と呼ばれるが、当然のことながら時空的な意味で四次元(vierdimensional in zeiträumlichem Sinne)である。というのは、世界は、個々の出来事(Einzelereignisse)が集積してなる世界であり、それらの出来事は、すべては四つの数、すなわち三つの空間座標x、y、zと時間座標(時間の値)tによって記述されるからである。「世界」は、この意味においてまた連続体である。なぜかといえば、すべての出来事には、任意に「隣合う("benachbarte")」(現実のあるいは思考上のでも)出来事が存在し、それら出来事の座標x1、y1、z1、t1は、考察している本来の出来事の座標x、y、z、tと任意にわずかにしか異ならない(sich beliebig wenig unterscheiden)からである。私たちが世界をこの意味での四次元連続体として把握することに慣れていないのは、相対性理論以前の物理学における時間が、空間の座標に対して異なる、むしろ独立な役を演じていたことによるのである。そのために私たちは時間を独立な連続体として扱うことに慣れてきたのである。実際、時間は古典物理学によれば絶対的である、すなわち、基準系の位置および運動状態から(von der Lage und dem Bewegungszustande des Bezugssystems)独立している。このことはガリレイ変換の第4の式(t'=t)に表現されている。
 「世界」の四次元的な考察方法は、相対性理論によって要求される。というのは、まさに相対性理論によって、時間はローレンツ変換の第4式

の示すように、その独立性を奪われるからである。というのは、この式によれば、K'を基準とする二つの出来事の時間差Δt'は、Kを基準とする同じ(訳注:二つの出来事の)時間差Δtが消えるときでも、一般的には消えないからである。Kを基準とする二つの出来事の純粋に空間的なへだたりは、K'を基準とする同じ(二つの出来事の出来事間の)時間的なへだたりとなるのである。まだここには(Auch hierin)、相対性理論の形式的な展開のためにミンコフスキーがなした重要な発見があるわけではない。むしろそれは、以下の認識(Erkenntnis)のなかにある。相対性理論の四次元連続体が、その決定的な(訳注:基準となる、標準の)形式上の性質において(in seinen maßgebenden formalen Eigenschaften)、ユークリッド幾何空間の三元連続体と、極めて広範な親近性(die weitgehendste Verwandtschaft)を見せているという認識である(付記のやや詳細な説明を参照されたい)。この親近性を完全にはっきりさせるには、まさに普通の時間座標tのかわりに、それに比例する虚数を導入しなければならない。そうすることで(特殊)相対性理論の要請を満足する自然法則は、時間座標が三つの空間座標とまったく同じ役を演じるような数学的形式を受け取るのである。この四つの座標は、形式的にはまさにユークリッド幾何学の三つの空間座標に相当している。この純粋に形式的な認識によって、相対性理論が、特別な展望を獲得するに違いない(außerordentlich an Übersichtlichkeit gewinnen mußte)ということは、数学者ではない者にもわかるに違いない。
 以上の不十分な指摘では、ミンコフスキーの重要な思考について、ただ漠然とした観念(eine vage Idee)を読者に与えるに過ぎない。ミンコフスキーの思考なしには、その根本思想を発展させて得られた一般相対性理論は、多分、おしめをしたままでいただろう(in den Windeln stecken geblieben wäre:まだ初期の段階であっただろう)。しかし、特殊相対性理論と一般相対性理論の根本原理を理解するには、数学に精通していない読者にとっては疑いなく近寄りがたいこの対象(訳注:ミンコフスキーの四次元時空の思考)を、もっと正確に把握する必要があるので、ここではこの程度にしておいて、いずれ本書の最後の説明で再度戻ってくることにしよう。(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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