●回転基準体上の時計と測量棒の関係(Verhalten von Uhren und Maßstäben auf einem rotierenden Bezugskörper)

 これまで私は、一般相対性理論における時空的な値の物理的解釈について、わざと何もいわなかった。そのために、私は、いささか、その扱いおいて、粗放の罪を負っている(einer gewissen Unsauberkeit schuldig:アンフェアな態度に罪を負っている)。特殊相対性理論の場合と同じく、その罪を軽く大目に見て、すませるわけにはいかない。いまや、この欠陥を補うよい機会である。しかし、あらかじめ注意しておくが、この問題は、読者にかなりの忍耐力と、抽象力を要求しないわけにはいかない。
 われわれは、これまで、しばしば引用してきた、まったく特殊な場合から出発する。適当に選んだ運動状態の基準体Kに対して相対的に重力場が存在しないような、一つの時空領域があるとせよ。そのさい、注目しているこの領域を基準にしてKがガリレイ基準体であり、特殊相対性理論の諸結果はKに対して相対的に適合する。その領域を、Kに対してレラティブに等速回転している第二の基準体K'に準拠させて考えることにする。われわれが、考えている像を確定するために、ここに一つの平らな円盤があって、その中心のまわりを、その平面上で一様に回転している姿K'を考える。

円盤K'上で中心から離れて腰かけている観測者は、直径方向に外方へ向かう力を感ずる。その力は、本来の基準体Kに対して相対的に静止している観測者によれば、慣性の作用(遠心力:Zentrifugalkraft)と解釈されるであろう。だが、円盤上に腰かけている観測者は、円盤の方を「静止している」基準体と見なすかも知れない。一般相対性原理にもとづけば、そう考えても正しいのである。彼は、自分および一般に円盤に対して相対的に静止している物体に働く力を、重力場の作用として把握する。もちろん、この重力場の空間的な配置は、ニュートンの重力理論からは不可能であるような代物である(その重力場は円盤の中心で消滅し、中心から外側へ、へだたつにつれて増加する)。しかし、観測者は一般相対性(die allgemeine Relativität)を信じているから、このことで動揺したりはしない。彼は正当にも、天体の運動ばかりでなく、自分が知覚する力の場(Kraftfeld)をも正しく説明するような、一般的な重力法則が打ち立てられることを希望するのである。
 この観測者は、円盤上で時計と測量棒とをもち、観測にもとづいて、円盤K'を基準とする時間的および空間的な値の意味について(für die Bedeutung zeitlicher und räumlicher Angeben)厳密な定義を得るつもりで実験する。その際、彼は、どのような経験をするであろうか?
 観測者はまず、二つの同じ状態の時計のうち一方を、円盤の中心に、他方を、そのへりに置き、二つとも円盤に対しては相対的に静止しているようにする。つぎに、われわれは、これらの二つの時計が、回転しないガリレイ基準体Kから見て同じ速さで時を刻む(gleich schnell gehen)かどうか、自分に尋ねる。この基準体から判断すれば、中心にある時計は速度0であるが、一方へりにある時計は、回転のためにKに対して相対的に運動している。したがって、第12章『運動している棒と時計の挙動』の結論により、円盤のへりにある時計は中心にある時計よりも、Kから判断して、ゆっくりと時を刻む。また明らかに、同じことを、たとえば円盤の中心で、そこの時計のわきに坐っているものと想定される円盤上の男も、確認しなければなるまい。わが円盤上では、さらに、一般的にいえば、すべての重力場において、時計は、それが(静止して)置かれている地点によって、速くも遅くもなるだろう。したがって、基準体に対して、相対的に静止して置かれた時計の助けを借りて、時間を合理的に定義しようとしても、不可能なのである。先の同時性の定義を、ここに運用しようとすると、同じような困難が示されるが、このことについては、もうこれ以上立ち入らないことにする。
 しかし、空間座標の定義も、またここで、まず越え難い困難にぶつかる。すなわち、円盤とともに運動する観測者が、1単位の測量棒(円盤の直径にくらべて小さな棒切れ)を円盤のへりに、それと接線をなすように置くならば、ガリレイ系から判断して、それは1より短くなる。というのは、第12章『運動している棒と時計の挙動』によれば、運動体は、その運動方向に短縮することになるからである。それに対して、測量棒を円盤の直径方向に置けば、Kから判断して、こんどは、ちっとも短縮しない。したがって、観測者が測量棒で、まず、その円盤の円周を測り、つぎに、その直径を測って、この測定値について割り算を行っても、商として、ご存じのπ=3.14...とはならず、より大きな数字になることがわかる*。一方、Kに対して相対的に静止している円盤上では、この操作によって、当然のことだが厳密にπを与えるにちがいない。こうしてユークリッド幾何学の定理は、回転盤上および一般に重力場において、少なくとも、この棒きれの長さを、すべての位置、または、すべての方向において(überall und in jeder Orientierung)、1とするときには、十分あてはまらないことが、すでに証明されたわけである。こうして、直線の概念もまた、その意味を失う。それゆえ、われわれは、円盤に対して相対的に、座標x、y、zを、特殊相対性理論に用いた方法に従って、厳密に定義するわけにはいかない。しかし、出来事の座標と時間が定義されないかぎり、この座標時(Koordinantenzeiten)を含む自然法則もまた、厳密な意味をもたないのである。
 かくして、われわれが、これまで一般相対性にもとづいて設定してきたすべての考慮が、疑問にさらされているように思われる。事実、一般相対性の公準を厳密に用いるためには、ある微妙な回り道を必要とする。これについては、続く考察をもって読者のための準備とすることにしよう。

 *この考察の全体を通じて、ガリレイの(回転しない)系Kを基準体として用いなければならない。というのは、Kに対してのみ相対的に特殊相対性理論の結果が妥当であると見なされる(K'に対しては相対的に重力場が支配しているからあてはまらない)からである。 (特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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