●ユークリッドおよび非ユークリッド連続体(Euklidishes und nicht-euklidisches Kontinuum)

 目の前に、一つの大理石机が、その面を見せて置いてある。私は、そのどこかの一点から出て、どこか別の点に到達できる。そのさい、何度も(eine (große) Anzahl)「隣の」点へ(zu einem "benachbarten" Punkte)と移る、あるいは --- いいかえると --- 点から点へ「飛躍("Sprünge":ジャンプ)」なしに移ってゆく。ここで、「隣」とか「飛躍」とかで何を意味しているかは、きっと読者には(あまり気むずかしい人でなければ)十分鋭敏に感じとってもらえることだろう。このことを、その表面が、一つの連続体(Kontinuum)であるということによっていい表す。
 いま、すべて同じ長さで、机の大きさにくらべて、小さな棒きれを非常にたくさん作ったと考えよう。同じ長さということは、どの二つの棒切れの両端も、ぴたり一致する(zur Deckung bringen)ことを意味している。さて、われわれは、こういう棒切れを四本、たがいに、それぞれの端が四角をつくり、それらの対角線(Diagonale)が同じ長さになる(すなわち正方形(Quadrat))ように、机の上に並べる。対角線を等しくするために(Zur Erzielung der Diagonalengleichheit)、テスト棒(Probierstäbchen)を一本用いる。この正方形の側に、その一辺を共通とする、もう一つ同じ正方形を置き、この正方形の側にまた一つと、つぎつぎに並べていく。ついに机の全平面が正方形で覆われて、正方形の各辺が二つの正方形の共通になり、正方形のそれぞれの隅が四つの正方形に共有されるようになる。

 深刻な困難にも、ぶちあたらないで、この仕事が実行できるということは、本当に驚嘆である! ただ、つぎのことを考える必要がある。すでに三つの正方形が、一角につき合わされているとき、第四の正方形も、すでに二辺は置かれていることになる。残るに辺を、どのように置かなければならないかは、すでに、先の二辺によって、完全に規定されている。いまとなっては、もはや私は、対角線が等しくなるように、その四角(Viereck)を適当な位置に移す(zurechtrücken)わけにはいかない。それでも、対角線が、おのずから等しくなっているなのならば、それは机の面と棒とによる特別な恩恵なのであって、ただ、ありがたいと驚くばかりである! この作図が成功するとするならば、同じような驚きを、しばしば経験しなければなるまい。
 実際にこれらが、すべて順調に進捗したならば、机の面の諸点は、線分として用いられた棒切れを基準にして、一つのユークリッド連続体を構成するといえよう。正方形の一つの角を「原点」とするならば、他のすべての角を二つの数値で、その原点を基準にして、定めることができる。いま注目している正方形の角に到達するには、原点から「右」へ棒切れ何本分、「上」へ棒切れ何本分いかなければならないかを、指示すればよい。この二つの数は、そこに並べられた棒切れで定まる「デカルト座標系("kartesisches Koordinatensystem")」を基準にした、この正方形の角の「デカルト座標(kartesische Koordinaten")」である。
 この思考実験(Gedankenexperiment)を、つぎのように修正することによって、実験が不成功になる場合もあり得ることが認められる。これらの棒切れが、温度に比例して「膨張する」としよう。机の面が中央だけ温められて、周辺は温められないとする。この場合にも、棒切れの角は机の、どの場所においても、つねにぴたりと一致する。しかし、正方形の構造は、このさい必然的に無秩序になる、というのは、机の面の中心方向にある棒切れは膨張するが、外側の棒は伸びていないからである。

 これらの棒切れ --- 単位線分(Einheitsstrecken)として定義される --- を基準にすると、机の面は、もはやユークリッド連続体ではない。われわれは、もはや、直接それらの棒切れの助けを借りて、デカルト座標系を定義することもできない。上に述べたような作図が、もはや、できないからである。しかし、(これらの棒切れとは)違う物体も存在する。その物体は、机の温度によって、これらの棒切れと同じようには影響されない(あるいは、まったく影響されない)物体である。だから、それを使えば、この机の面が、「ユークリッド連続体」であるという見解を無理なく保持することができる。このことは、線分の測定あるいは比較についての、より微妙な決定によって、満足できる(es gelingt in befriedigender Weise durch eine subtilere Festsetzung über das Messen bzw. Vergleichen von Strecken.)。
 しかし、あらゆる種類の棒切れ、すなわち、あらゆる材料の棒切れが、さまざまな温度をもつ机の面の上で、みな同じように温度に対して振る舞うものならば、そして、温度の作用を認知するのに、上に記したような実験での棒切れの幾何学的振る舞い以外には、手掛かりがないとすれば、次のことは、確かに当を得たことであろう・・・すなわち、以下の場合、机の二点に距離1を割り振ることがである・・・もし、われわれの棒切れたちの中の一本の両端が、ちょうど、机の上のその二点に一致するときに。というのも、その線分を、別の方法で定義するということは、お話にならないほど横暴であるからである(Würden aber Stäbchen jeder Art, d. h. jeden Materials, sich in gleicher Weise temperaturempfindlich verhalten auf der verschieden temperierten Tischplatte, und hätten wir kein anderes Mittel, die Wirkung der Temeratur wahrzunehmen, als das geometrische Verhalten der Stäbchen bei Experimenten analog dem oben beschrieben, so könnte es wohl zweckmäßig sein, zwei Punkten des Tisches die Entfernung 1 zuzuschreiben, wenn sich die Enden eines unserer Stäbchen mit ihnen zur Deckung bringen lassen, denn wie sollte man ohne die krasseste Willkür die Strecke anders definiren?)。しかし、そのさいは、デカルト座標法(kartische Koordinatenmethode)は、消え去らなければならないし、デカルト座標法は、剛体(固い物体)に対するユークリッド幾何学の妥当性を前提としない、別のものと置き換えられなければならない。* ここに述べた状況は、一般相対性の公準がもたらしたもの(第23章「回転基準体上の時計と測量棒の関係」)と一致することに、読者は、注目すべきである。

 *数学者は、つぎの形でわれわれの問題に直面する。ユークリッドの三次元計量空間において(im euklidischen, dreidimensionalen Meßraume)、一つの面、たとえば楕円面(Oberfläche eines Ellipsoid)が与えられたならば、この目には、ちょうど平面においてと同じように、二次元的幾何学が成立する。ガウスは、この面が三次元のユークリッド連続体に属していることを用いずに、この二次元幾何学を原理的に扱うという問題を設定した。その面に(前に机の面でやったのと同じように)固い棒切れ(剛体の棒切れ)で作図するとすれば、ユークリッド平面幾何学に従うのとは、別の法則があてはまるであろう。その面は、棒切れたちを基準にすれば、ユークリッド連続体ではない。その面ではデカルト座標系が定義できない。ガウスは、どのような原理によれば、その面における幾何学的関係を扱えるかを示した。そして、それでもって、多次元的、非ユークリッド的連続体のリーマン的取り扱い方(RIEMANNsche Behandlung)への道を示した。したがって数学者たちは、すでに、ずっと前から、一般相対性公準(das allgemeine Relativitätspostulat)が導びくところの形式的問題を解いていたのである。(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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