●ガウスの座標(GAUSSsche Koordinaten)

 この解析幾何学的な取り扱い法(Diese analytische-geometrische Behandlungsweise)は、ガウスによって、つぎのように与えられる。机の面の上に任意の曲線(上図)の系が描かれていると考え、それを曲線uと名づけ、それぞれを一つの数で示すとしよう。図では曲線u=1, u=2, u=3と示されている。しかし、曲線u=1とu=2の間には、1と2の間にあるすべての実数に対応する、さらに無限の数の曲線がある。こうして、机の全面を無限に、びっしりと覆うu曲線の系があることになる。u曲線は、たがいに交わらず、机の面のどの点を通る曲線も一本、そして 一本だけしか引けない。こうして、机の表面の、どの点にも、完全に決まったuの値が割りふられる。同様に、机の表面にv曲線の系が示されるとせよ。その曲線は、前と同じ条件を満たし、相対応する方法で数が指定されるが、同様に任意の形をとってもよい。そのさい机の面の、それぞれの点にuの一つの値とvの一つの値が属し、この二つの数を、机面の座標(ガウス座標:GAUSSsche Kooedinaten)と呼ぶ。たとえば、図の点Pはガウス座標ではu=3, v=1である。机面上での二つの隣同士の点PとP'は、したがって、座標が

P : u, v
P' : u=du, v=dv

となる。この場合duとdvは非常に小さな数を意味する。棒切れで測ったPとP'の距離を同様に非常に小さな数dsとしよう。このさい、ガウスによれば

ds2=g11du2+2g12dudv+g22dv2

となり。この場合のg11 , g12 , g22は、まったく一定の仕方で、uとvによって決まる量(大きさ)である。量g11 , g12 , g22は、u曲線とv曲線に対して相対的に、また机の面に対しても相対的に、棒切れの振る舞いを決める。しかし、いま考察している表面の諸点が測量棒を基準にしてユークリッド連続体をつくる場合には、またその場合にのみ、u曲線とv曲線を簡単に以下になるように描き、そして数を与えることができる。

ds2=du2+dv2

そのさい、u曲線とv曲線はユークリッド幾何学の意味における直線となり、たがいに垂直となる。またガウス座標は、たんにデカルト座標となる。ガウス座標は、考察している面の諸点を、二つの数で秩序付け(Zuordnung)、しかも、空間的に隣の諸点には、ほんのわずかしか違わない数値(sehr wenig verschiedene Zahlenwerte)で秩序付けられるようにしたものに、ほかならないことがわかる。
 これらの考察は、いまのところ二次元連続体に対してあてはまる。しかし、ガウスの方法はまた、三次、四次、あるいはそれ以上の次元連続体にも用いられる。たとえば、四次元連続体の場合ならば、つぎのように表現できる。連続体の各点に「座標」と呼ばれる任意の四つの数x1、x2、x3、x4を対応させる。隣の点には隣の標準値があてはめられる。さて、隣り合った2点PとP'に、測定によって得られ、物理的によく定義された距離dsが対応するとすれば、式

ds2=g11dx12+2g12dx1dx2…+g44dx42

が成り立つ。この場合g11……g44という量は、連続体とともに変わる値をとる。連続体がユークリッド的ならば、座標x1……x4が連続体の諸点に、たんに

ds2=dx12+dx22+dx32+dx42

となるように対応することができる。このさいには、四次元連続体においても、わえわれの三次元の測定にあてはまるのと同様な関係が通用する。
 ところで(übrigens)、ここに述べたds2に対するガウスの表現は、いつでも可能というわけではない。そうではなくて(sondern)、考察している連続体の十分に小さな領域が、ユークリッド連続体と見なせる場合にのみ限られるのである。たとえば、机の面および場所ごとに温度が変わる場合には、明らかにあてはまる(Dies trifft z. B. offenbar zu in dem Falle der Tischplatte und örtlich veränderlicher Temperatur.)。なぜならば、面の小部分については温度は実質的に一定であり、棒切れの幾何学的振る舞いは、ほとんどユークリッド幾何学の規則に従っているようなものだからである。前章(ユークリッドおよび非ユークリッド連続体)の正方形の構図は、考察している机の面の部分をもっと拡張してそれを作図するとき、初めてその不完全さが明らかになる(Die Unstimmigkeiten der Quadratkonstruktion des vorigen Paragraphen treten somit erst deutlich zutage, wenn die Konstruktion des vorigen Paragraphen üer einen betrÄchtlichen Teil der Tischplatte ausgedehnt wird. 訳注:直訳すると『前章の正方形作図の矛盾は、次のこととともに、はじめて、明らかになる。すなわち、前章の作図が、机の面の相当な部分を越えて、広げられるときである』)。
 したがって、要約すれば、つぎのようにいえよう。すなわち、ガウスは、量的関係(隣り合うの点の『距離』)が定義される任意の連続体を数学的に取り扱う方法を見つけた。連続体の各点に、その連続体がもつ次元の数と同数の数(ガウス座標)が割りふられる(Jedem Punkte des Kontinuums werden so viel Zahlen (GAUSSsche Koordinaten) zugeordnet, als das Kontimuum Dimensionen hat.)。これは、対応が一義的になるように、および近傍の諸点には無限小だけ異なる数(ガウス座標)が対応するように、行われる(Die Zuordnung erfolgt so, daß die Eindeutigkeit der Zuordnung gewahrt wird, und daß benachbarten Punkten unendlich wenig verschiedene Zahlen (GAUSSsche Koordinatensystem) zugeordnet werden. 訳注:直訳すれば『その割り振り(秩序付け)は、その割り振りの明白さが与えられる(gewahren)ように(あるいは、保たれる(wahren)ように)、および、隣り合うの点が、無限に少なく異なる数(ガウス座標)を割りふるように、行われる』)。ガウスの座標系はデカルト座標系の論理的一般化である。また、これは非ユークリッド連続体にも適用できるが、しかし、もちろんそれは、考察している連続体の小部分が、定義された量(『距離』)を基準にして、その連続体の、われわれが注視する部分が小さくなるにつれて、ますますユークリッド的に振る舞うようになる場合にのみ限られる(Es ist auch auf nicht-euklidishce Kontinua anwendbar, allerdings nur dann, wenn kleine Teile des betrachteten Komtinuums mit Bezug auf das definierte Maß ("Abstand") sich mit desto größerer Annäherung euklidisch verhalten, je kleiner der ins Auge gefaßte Teil des Kontinuums ist.)。(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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