●ユークリッド連続体としての特殊相対性理論の時空連続体(Das raum-zeitliche Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie als euklidisches Kontinuum)

 さてわれわれは、第17章『ミンコフスキーの四次元世界』で、ただ漠然と触れただけのミンコフスキーの考えを、やや、くわしく定式化する立場にやってきた。特殊相対性理論に従えば、四次元の時空連続体を記述するには「ガリレイ座標系」と命名された、ある特定の座標系が優先されている。その座標系に対して、ある事象、あるいは---別の表現でいえば---四次元連続体の一点を定める座標x、y、z、tが、この本の第一部(『特殊相対性理論について』)で、詳しく論じたように、簡単な方法で、物理的に定義される。あるガリレイ座標系から、そのガリレイ座標系に相対的に等速度運動している、もう一つ別のガリレイ座標系に移行するには、ローレンツ変換の式があてはまる。その式は、特殊相対性理論の諸結果を導くための基礎をなすものであり、それ自体、すべてのガリレイ基準体に対する、光の伝播法則の一般的適合を表現するものにほかならない。
 ミンコフスキーは、ローレンツ変換が、つぎの簡単な条件を満足することを見つけた。二つの隣り合った出来事があるとしよう。四次元連続体における、そのお互いの位置は、空間的な座標差(Koordinatendifferenz)dx, dy, dzと時間的な差dtによって、あるガリレイ基準体Kを基準に与えられるものとする。第二のガリレイ系に関して、この二つの事象の同様な差dx', dy', dz', dt'があるとせよ。そうすれば、その間には、つねに、つぎの条件があてはまる。

dx2+dy2+dz2-c2dt2=dx'2+dy'2+dz'2-c2dt'2

 この条件からローレンツ変換の正当性が導かれる。それは、つぎのように表現できる。すなわち、四次元の時空連続体上の隣り合う二点に属する大きさ

ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2

は、優先されたすべての(ガリレイ)基準体に対して同じ値をもつ。またx、y、z、を、x1、x2、x3、x4で置き換えれば、

ds2=dx12+dx22+dx32+dx42

が基準体の選択に無関係であるという結果が得られる。大きさdsを、二つの出来事あるいは二つの四次元の点の『距離』と呼ぶ。
 したがって、時間の変数として実数tのかわりに虚数を選べば、前章『ガウスの座標』の説明から明らかなように、特殊相対性理論に従って時空連続体をユークリッド四次元連続体と考えることができる。(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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