●一般相対性理論の時空連続体はユークリッド連続体ではない(Das raum-zeitliche Kontinuum der allgemeinen Relativitätstheorie ist kein euklidisches Kontinuum)

 本書第一部『特殊相対性理論について』で、われわれは、時空座標(raum-zeitliche Koordinate)を利用することができた。それは、一つの単純・直接な物理的解釈を与え、かつ、第26章『ユークリッド連続体としての特殊相対性理論の時空連続体』によれば、四次元のデカルト座標として示された。これは、光速度不変の法則の根拠に基づいて可能であった。しかし、第21章『古典力学と特殊相対性理論の根拠はどれほど不満足なものであるか?』によれば、一般相対性理論は、その法則を支持することができない。われわれは、むしろ、後者の理論によれば、光速度は、重力場が存在する場合、つねに座標に依存しなければならないという結論に達した。さらに第23章『回転基準体上の時計と測量棒の関係』では、重力場の存在が、特殊相対性理論では目的にかなった座標と時間の定義を不可能にすることを、特殊な例において見いだした。
 この考察の結果を顧みると、一般相対性理論によれば、時空連続体はユークリッド的のものとして考えられないで、むしろ、場所ごとに温度が変わる机の面の二次元連続体について知った一般的な場合がここに現れる、との確信に導かれる。そこでは、相等しい棒切れから、一つのデカルト座標を構成することができなかったように、ここでは、固い物体(剛体)と時計(Uhren)から一つの系(System)(基準体)を、たがいに、相対的に一定の配列をした測量棒と時計が、直接、場所と時間をさし示すように作ることは不可能である(Wie es dort unmöglich war, aus gleichen Stäbchen ein kartesisches Koordinatensystem zu konstruieren, so ist es hier unmöglich, aus starren Körpern und Uhren ein System (Bezugkörper) aufzubauen, derart, daß relativ zueinander fest angeordnete Maßstäbe und Uhren direkt Ort und Zeit anzeigen. )。このことが、第23章『回転基準体上の時計と測量棒の関係』で、われわれが出会った困難の本質である。
 だが、第25章『ガウスの座標』と第26章『ユークリッド連続体としての特殊相対性理論の時空連続体』の考察は、この困難を克服すべき道を示している。四次元の時空連続体を、任意の方法で、ガウス座標に準拠させる。われわれは、連続体の各点(事象)に四つの数x1、x2、x3、x4(座標)を対応させる。これらの数は、なんら直接的な物理的意味を、もつものでもはなく、連続体の点を、一定の、だが任意の仕方で数える(numerieren)ために役に立つだけである。この秩序付け(Zuordnung)は、x1、x2、x3を「空間的」座標として、x4を「時間的」座標として捉えなければならないようなものである必要さえないのである。
 読者は、そのような世界の記述が、まったく不十分(unzulänglich)ではないかと思うかも知れない。ある事象は確定した座標x1、x2、x3、x4のせいだとする(zuschreiben:せいだとする、ものだとする、譲渡する、まれに「書き加える」の意あり)場合、これらの座標自体は、何ものも意味しないとする場合、それに、どんな意味があるのだろうか? しかし、よりくわしく考察してみれば、この心配には、根拠がないことがわかる。たとえば、任意に運動している質点(materieller Punkt)を考察するとせよ! それが、かりに持続のない瞬間的な存在に過ぎないとすれば、時空的に唯一の座標系の値x1、x2、x3、x4によって記述されることになろう。したがって、その永続的な存在は、その座標値が、つぎのような無限に大きな数の値の系(eine unendlich große Zahl von solchen Wertsystemen)によって特徴づけられる。すなわち、その座標値が、つねに互いにつなぎ合わされる系である。つまり、質点には四次元連続体における一本(一次元)の線が対応する。多くの運動する点には、私たちの連続体において、ちょうど、それだけの数の線が対応する。これらの点に関する唯一の言明、物理的実在を要請しうる唯一の言明は、実は、これらの点の出会い(Begegnungen:出会い、遭遇、邂逅)についての言明なのである。そのような出会いを数学的に表現すれば、当該の点の運動を表す、二つの線が、ある座標系の値、x1、x2、x3、x4を共通にもつ、というようにいえる。そのような出会いが、真に、われわれが物理的言明で当面する時空的性格の唯一の事実上の確証になっているということは、深く考慮してみるならば、疑いもなく読者に認めてもらえるだろう(Daß solche Begegnungen in Wahrheit die einzigen tatsächlichen Konstatierungen zeit-räumlichen Charakters sind, die wir in physikalischen Aussagen antreffen, wird der Leser nach eingehender Überlegung ohne Zweifel zugeben. )。
 われわれは、先に、ある基準体に相対的な質点の運動を記述したとき、その基準体の一定の点と、この点との出会い以外のことは何もあげなかった。また、付属の日付も、物体たちの時計たちとの出会いによって確定されることによって解かれ、また、時計の針の文字盤の特定の点との出会いが確定することとと結びつくことによって解かれる(Auch die zugehörigen Zeitangaben lassen sich auflösen in die Konstatierung von Begegnungen des Körpers mit Uhren, in Verbindung mit Konstatierung der Begegnung von Uhrzeigern mit bestimmten Punkten von Zifferblättern. )。ちょっと考えればわかるように、それは測量棒による空間的測量によるものにほかならない。
 一般に、つぎのようなことがいえる。すなわち、すべての物理的記述は、多数の言明の中で解かれる。それらの言明のすべてが、二つの事象AとBの時空的一致に帰着する(Allgemein gilt: Jede physikalische Beschreibung löst sich auf in eine Zahl von Aussagen, deren jede sich auf die raum-zeitliche Koinzidenz zweier Ereignisse A und B bezieht.)。そのような、すべての言明は、ガウス座標における四つの座標x1、x2、x3、x4の一致(Übereinstimmung)によって表現される。よって、ガウス座標による時空連続体の記述は、事実上、ひとつの基準体の助けを借りた記述の完全な代わりをし、しかも、基準体の記述法の欠点に、わずらわされることもないのである。ガウス座標による時空連続体の記述は、いま述べている連続体のユークリッド的特性には縛られない。(Die Beschreibung des zeit-räumlichen Kontinuums durch GAUSSsche Koordinaten ersetzt also tatsälich die Beschreibung mit Hilfe eines Bezugskörpers vollständig, ohne den Mängeln der letzteren Beschreibungsmethode zu kranken; sie ist nicht an den euklidischen Charakter des darzustellenden Kontinuums gebunden.)(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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