●有限だが境界のない宇宙の可能性(Die Möglichkeit einer endlichen und doch nicht begrenzten Welt)

 しかしまた、宇宙の構造に関する憶測は、まったく別の方向にも動いていく。すなわち、非ユークリッド幾何学の発展から、われわれは、空間の無限性(Unendlichkeit)を疑うことができるということを、認識するようになった。思考法則にも経験にも衝突することなくである(リーマン、ヘルムホルツ)。これらのことは、ヘルムホルツとポアンカレによって、すでに比類のない透徹さで、くわしく解明されているが、私は、ここでは、それに短くしか触れない。
 まず、二次元の出来事(ein zweidimensionales Geschehen)を考える。フラットな生物たち(flache Geschöpfe)が、フラットな道具、とりわけフラットな固い測量棒をもって、一つの平面を(in einer Ebene)自由に動きまわっているとしよう。この生物たちにとって、この平面の外には、何も存在しない。そして、彼らの平面上の出来事といえば、彼らが、自分自身について観察する出来事と彼らのフラットな物どもについて観察する出来事であり、それらは因果の鎖につながれている。とくに、ユークリッド平面幾何学のコンストラクションは、棒切れを使って、第24章『ユークリッドおよび非ユークリッド連続体』で考察した机の面でのネット・コンストラクションの例のように実現される。これらの生き物の世界は、われわれの、それと比べれば、空間的に二次元であるが、われわれの世界のように無限に広がっている。無数の等しい棒切れの正方形が並べられる、すなわち、その容積(面積)は無限である。これらの生物が、「われわれの世界は平らである」と言えば、それは、意味をもつ。すなわち、ユークリッド平面幾何学のコンストラクションが棒切れで実現されるという意味と、そのさい個々の棒切れは、その位置に関係なく常に同じ長さの線分を表わすという意味をである。
 さて、もう一度、二次元の出来事を、だが、こんどは平面ではなく球面上に(auf einer Kugelfläche)考えることにする。フラットな生物たちは、測量棒と、その他の対象物とともに、ちょうど、この表面に横たわり、この表面から去ることができない。すなわち、その全認識世界の広がりは、もっぱら、球の表面上だけに限られているということだ。そのさい、この球面上の生き物は、その世界の幾何学を二次元のユークリッド幾何学と考察し、棒切れを「線分(Strecke)」の実現化(Realisierung)であると考察することができるだろうか? それはできない。なぜならば、一つの直線を実現しようとしても、一本の曲線を得るだろうからである。それは、われわれ「三次元者"Dreidimensionale"」が大円(größten Kreis)と名づけ、棒切れでもって測りきれる、一定の有限な、長さをもつ閉曲線なのである。同様に、この世界は、有限な面積をもっている。その面積は、棒切れの正方形の面積と対比できる。こういう考えにふけって得られる最大の魅力は、この生物の世界は有限だが境界をもたない(Die Welt dieser Wesen ist endlich und hat doch keine Grenzen)という認識にある。
 しかし、この球面生物は、自分がユークリッド的世界に、住んでいないことを知るために、世界旅行をする必要はない。その世界の、ある程度の広さの土地で、それを、みずから確かめることができる。一点から、あらゆる方向に向かって同じ長さの「まっすぐな線分」(三次元的に判断すれば円弧)を引く。この線分の先端を結んだものを「円」と名づけるだろう。棒切れで測った円周と同じ棒切れで測った円の直径の比は、ユークリッド平面幾何学によれば、円の直径とは独立的な定数πに等しい。わが生物たちは、その球面上における、この比として

という値を見いだすだろう。しかも、その値はπより小さく、円の半径rが「球の曲率」半径Rに比して大きければ大きいほど、より小さくなる(um so erheblicher, je größer der Radius des Kreises im Vergleich zum Radius R der "Kugelwelt")。この関係から、球面生物(Kugelgeschöpfe)は、自分たちの世界の半径Rを、その球世界(Kugelwelt)の比較的小さな部分のみを、測量してみるだけで定めることができる。しかし、この測量部分が、あまりに小さすぎると、自分たちがいるのは、球面上なのであってユークリッド平面の上にいるのではない、ということを、もはや確かめることができない。すなわち、球面の小部分が、同じ大きさの平面部分と、ほとんど差がないからである。
 したがって、もしも、球面生物が、ある惑星上に住んでいて、太陽系が球面世界の、ごくわずかな部分しか占めていないならば(訳注:すなわち、球面世界がとてつもなく大きかったら)、彼らが、有限の世界に住んでいるのか無限の世界に住んでいるのかを、決定する可能性はない。というのは、彼らの経験の達しうる世界部分は、どちらの場合も事実上、平らで、つまりユークリッド的だからである。直観で、ただちにわかることだが、わが球面生物にとっては、円周は、はじめ半径とともに、ふえていき、ついに「世界円周(Weltumfang)」となるが、それから、さらに半径が大きくなるにつれて、円周は次第に縮んで、ついにゼロになる。そのさい、円の面積は、常に増大して、ついには全球面世界の総面積と等しくなる。
 たぶん読者は、わが生物を、なぜ球面上に置いて、別の閉じた表面上には置かなかったことを、疑問に思うことだろう。しかしこれは、球面が、ほかのすべての閉曲面に比べて、その面上の、すべての点が平等であるという特性によって、抜きん出ていることから、正当づけられる。一つの円の円周uと半径rとの比は、たしかにrによって決まるが、rが与えられれば、球面世界のすべての点で、この比は同じになる。すなわち球面世界は「一定の曲率をもつ面(Fläche konstanter Krümmung)」なのである。
 この二次元の球面世界に対して三次元の類似物(Analogon)、つまり、リーマンによって発見されている三次元の球状空間(der dreidimensionale sphärische Raum)が存在する。その諸点もまた、すべて同等である。それは、その「半径」R("Radius" R)によって決まる有限の体積(2π2R3)を占める。こういう球状空間というものを、人は想像できるだろうか? ある空間を想像するということは「空間的」経験、すなわち「剛体」(固い物体、"starrer" Körper、)の運動によって得る経験の全体を想像することにほかならない。この意味において、球状空間というものが想像できるのである。
 さて、一点から、すべての方向に直線を引き(紐を張って)、その各線上に測量棒でもって線分rの印をつける。これら線分のすべての自由な一端は、一つの球面上にある。この表面積(F)を、とくに、あますことなく測量棒の正方形でもって、測量してしまうことができる。その世界がユークリッド的ならば、F=4πr2になるが、それが球状世界ならば、Fは、つねに4πr2よりも小さくなる。Fは球半径rとともにゼロから出発して「世界半径("Weltradius")」によって決まる最大値まで増大するが、さらに球半径rが大きくなると、Fの増大は次第に減少して、ふたたびゼロとなる。始点から出発した放射直線は、まず、おたがいに、ますます遠ざかっていくが、のちには近づきだして、ついには始点の「反対点"Gegenpunkte"」でふたたび合流する。そのとき、それらの直線は全球上空間を端から端まで通過したことになる。三次元の球状空間は二次元のそれ(球面)と、まったく同様であることは、容易にわかることである。それは、有限(すなわち有限の体積をもつ)だが、境界をもたない。
 球状空間のさらにもう一つの変種として、「楕円状空間(der elliptische Raum)」があることに注目してほしい。それは「反対点」が一致する(区別できない)球状空間と考えられる。したがって、楕円状世界は、いわば中心対称性の球状世界と見なすことができる。
 以上述べたことから、境界のない閉空間が考えられることがわかる。それらの中でも球状空間(および楕円状空間)は、そのすべての点が同等であるという簡明さによって優れている。上述のことから、天文学者にとって、われわれが住んでいる世界が無限であるのか、あるいは球面世界のように有限であるのか、という、きわめて興味ある問題が提起された。われわれの経験は、この質問に答えるには、まだ、けっして十分とはいえない。しかし、一般相対性理論は、これに、かなりの確実さをもって答えるのを許している。そのさいに第30章『ニュートン理論の宇宙論上の困難』で示した困難も解けるのである。(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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