●一般相対性理論にもとづく空間の構造

 一般相対性理論によれば、空間の幾何学的特性は、独立したものではなく、物質によって制約されている。それゆえ、物質の状態を、わかっているものとして、考察の基礎に置いて、はじめて、世界の幾何学的構造について、何らかの結論が出せるのである。われわれは、経験から、適切に選ばれた座標系では、恒星の速度は光の伝播速度に対して小さいが存在する、ということを知っている。それゆえに、われわれは、世界の特性を、だいたいにおいて、われわれが物質を静止しているものとして扱うときには、似ても似つかない値でしか知ることができない。(Wir wissen aus der Erfahrung, daß bei passend gewähltem Koordinatensystem die Geschwindigkeiten der Sterne klein sind gegenüber der Geschwindigkeit der Lichtausbreitung. Wir können deshalb die Beschaffenheit der Welt im großen in rohester Annäherung erfahren, indem wir die Materie als ruhend behandeln.)
 われわれは、すでに、前の考察から、測量棒と時計の挙動が重力場によって、すなわち物質の配置によって影響されることを知っている。このことから、われわれの世界では、ユークリッド幾何学の厳密な有効性を云々することができないことは、すでに明らかである。しかし、われわれの世界がユークリッドの世界と、わずかな違いしかないということは、それ自体、考えられることである。計算によれば、わが太陽の大きさほどもある質量さえも、その周囲の空間の計量(メトリーク)に、ほんのわずかな影響しか与えないのだから、その考えは当たらずとも遠からずである。われわれの世界は、幾何学の点からは、不規則に曲がった個々の面のように振る舞う、と表象できよう。しかし、それが、どこでも平面と大きくずれていないことは、さしずめ、さざ波が立つ湖水の表面に似ている。このような世界は、準ユークリッド(eine quasi-euklidische)世界と呼ばれるのにふさわしい。それは、空間的には無限であろう。しかし、計算によれば、準ユークリッド世界では、物質の平均密度が0でなければならない。そのような世界には、したがって、どこを見ても物質が群れてはいない。すなわち、第30章『ニュートン理論の宇宙論上の困難』で描いたような不満足な像を示すだろう。
 しかし、物質の平均密度が、たとえ、ごくわずかでも0から、ずれていれば、その世界は、もはや準ユークリッド世界ではない。さらに計算によれば、物質が同じように分布しているならば、それは必然的に球状:sphärisch(あるいは長円状:elliptisch)でなければならない。実際には、物質は個々に不平等に分布しているのだから、現実の世界は、個々に球状的な振る舞い(sphärisches Verhalten)から、ずれており、世界は準球状的(quasi-sphärisch)となろう。しかし、それは必然的に有限でなければならないだろう。一般相対性理論は、世界の空間的広がり(räumliche Ausdehnung)と、その中における物質の平均密度の簡単な一つの関係*さえも、与えてくれるのである。

 *世界の「半径」Rに対して、すなわち、つぎの方程式が導かれる。

C-G-S単位を用いると、ここでは2/κ=1.08・1027、ρは物質の平均密度である。(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)

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