●時空図

 いま、長さ150,000kmの列車が、秒速150,000kmで、レール上を直進しているとする。この列車は列車の最後部から列車の最前部に向けて光を発し、その光は列車の最前部の鏡に当たって反射し、また、列車の最後部に戻ってくるとする。
 この列車のレールの上の1秒間の動きを「時空図」に表す。「時空図」とは縦軸に時間(時間軸)、横軸に距離(空間軸)を表すグラフである。

じくうず1

 まず「ガリレイ的時空図」では、上の図のように列車は0.5秒後に列車の最後部はAの地点に達し、列車の最前部はBの地点に達する。そして、1秒後に、列車の最後部はCの地点に達し、列車の最前部はDの地点に達する。また、光の軌跡はO-B-Cの線(黄色い線)で表される。「ガリレイ的時空図」では、O-Bにおいて光は、光速(秒速300,000km)に列車の速度(秒速150,0000km)を加えた速度(秒速450,000km)で進む(速度の加法定理)。具体的には、0.5秒で225,000km進んでいる。B-Cにおいて光は、秒速150,000kmで進む(秒速300,000kmから秒速150,0000kmを引いた値)。
 一方、「アインシュタイン的時空図」では、列車の空間軸(点OQを結ぶ線)は下の図のように傾く。その傾きの角度は、時間軸の傾きの角度と同じになる。よって、列車の最後部は列車時刻の0.5秒後にAの地点に達し、最前部はBの地点に達する。列車時刻の1秒後には列車の最後部はCに達し、最前部はDに達する。また、列車における光の軌跡はO-B-Cの線(赤い線)で表される。「アインシュタイン的時空図」では、光速は秒速300,000kmである。これは、「アインシュタイン的時空図」が、光速度不変の法則から導かれたグラフなのであるから当たり前である。

 それでは、なぜ、線分ABおよび線分CDは、列車を基準にしたときの同時刻の線なのか。それは以下のように説明できる。
 仮に、点Oと点Lの中点Mから光を発したときの軌跡は、列車の空間軸と点Pと点Qで交わる。これは、線分PQが、列車にとっての同時刻の線であることを表す。さらに、光の軌跡は上方向にのび、列車の空間軸に平行な線(上の方にできるあらゆる平行な線)と同じように二つの点で交わる。その二点と点Mが形成する三角形は、三角形MPQと相似である。よって、線分PQと平行な線分ABおよび線分CDは列車にとっての同時刻の線なのである。列車の空間軸に平行なすべての線は、同様に列車の同時刻の線である。
 下の図は、「ガリレイ的時空図」と「アインシュタイン的時空図」を同じ一つのグラフにしたものである。さらに、各点の具体的な値を入れたものである。(なお、この図をご提供して下さった坂口央(さかぐちひろし)さんがこの時空図について、より精密な見方を提示しているので参照のこと。)  

じくうず3

 

じくうず5

坂口央(さかぐちひろし)さんが描いた時空図

 上の図において、列車の最後部にいる人は、自分の時計が0.5秒を指したとき、レール上に静止している時計は、0.433秒を指していることを認める。つまり、列車の時計に比べ、レール上の時計は遅れる。また、レール上に静止している人は、自分の時計が0.577秒を指したとき、列車の最後部の時計は0.5秒を指していることを認める。つまり、レールの時計に比べ列車の時計は遅れる。このことは、われわれの考察の根底においた相対性原理に完全に合致する。すなわち、列車の最後部の人の時計とレール上に静止している人の時計とでは、互いに相手の時計が遅れていることを認めるということである。また、長さに関しても同じことがいえる。点Oに静止いている人からみれば、長さ150,000kmの列車は、129,900kmに縮んで見える。一方、列車からみれば、レール上の長さ150,000kmの物体は129,900kmに見える(注:列車上の人は、レール上の150,000kmの物体の長さを、列車の最後部から列車の129,900kmの地点までの長さと同じであると認める)。互いに相手の長さが縮んでいると認めるのである。(KM)

 

【追記 ご参考までに】
じくうず4
 

列車の速度が限りなくゼロに近い時、斜交座標は直交座標に限りなく近づくのは当然である。  

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