●ローレンツ変換

 ガリレイ変換は光速不変の原理をみたさないことが明らかになったので、修正する必要がある。簡単のために、二つの慣性系の相対速度Vを、Vx=V, Vy=Vz=0として空間的に一次元の運動を考える。すなわち、二つの慣性系SとS'の座標軸は平行で、t=t'=0のとき両方の座標の原点は一致しており、S'はSのx軸の正の方向へ、図5-1のように大きさVの相対速度で移動しているとする。

図5-1 大きさVの相対速度をもつ慣性系

 慣性系は力の作用を受けてない物体が等速直線運動をすることで特徴づけられている。等速直線運動は座標と時間と間の線形(一次)関係式であたえられる。ガリレイ変換は互いに等速直線運動をしている慣性系の間の空間座標と時間の線形変換である。われわれの場合も、ガリレイ変換を一般化した線形変換を考える。すなわち

(x', y', z', t')は(x, y, z, t)の一次関数・・・・・・・・・(5.1)

であるとする。光速不変の原理のもとでは、時間も慣性系ごとに定められる必要がある。そこで、事象を記述するには、慣性系ごとに直交座標(x, y, z)と時間tの四つの値を定める必要がある。この四変数(x, y, z, t)を時空座標(space-time coordinate)と呼ぶことにする。また時空座標であらわされる四次元空間の点を世界点(world point)または時空点(space-time point)とよぶ。

 光速不変の原理のもとでは、時間も空間も絶対的なものではないから、そのことに気をつけて考察する。まずy座標について考える。慣性系Sでyが一定の点はxz平面に平行な面上にある。この面をS'でみてもx'z'平面に平行であると考えてよい。したがってy軸に平行におかれた物差しの長さが変化したとしても、その比はVのみの関数で、比例定数をa(V)とすると

y' = a(V)y・・・・・・・・・(5.2)

と書ける。ところで、S'からSをみると、S'の座標系のx'軸の負の方向へ速度VでSが移動している(図5-2)。

図5-2 慣性系S'からSをみる

そこで二つの座標系で、それぞれy軸とy'軸を回転軸として、180°の回転を行う。座標変換はそれぞれ

・・・・・・・・・(5.3)

および

・・・・・・・・・(5.4)

となる。この新しい座標系によると、SはS'の座標系の軸の正の方向へ、大きさVの相対速度で移動していることになる。この事情は、もとの座標系を用いてSからS'をみた場合と同じになる。したがって(5.2)と同じ形の関係式

・・・・・・・・・(5.5)

を得る。変換(5.2)に(5.3),(5.5),(5.4)の順に代入すると

となる。この式の最左辺と最右辺を比較すると

(a(V))2 = 1

を得る。したがってa(V)はVに無関係な定数となるが、a(V)=±1の不定さが残る。これは次のようにして簡単にきめられる。すなわち、V=0のときは恒等変換になるから(5.2)はy=a(0)yとなる。よって、

a(V) = 1

を得る。したがってSの座標のyの点はS'の座標y'の点になり

y' = y・・・・・・・・・(5.6)

を得る。同様にして

z' = z・・・・・・・・・(5.7)

を得る。
 つぎにx座標とx'座標の間の関係を考察しよう。われわれの仮定では、t=t'=0のときSの座標とS'の座標の原点は一致している。そしてSのx軸上の正の方向への速さVでS'が等速直線運動をしている。したがってS'の座標の原点、すなわちx'=y'=z'=0の点の、Sから見たx座標は

x = Vt・・・・・・・・・(5.8)

で与えられる。このことは(5.1)から、S'のx'座標は変換

x' = b(V)(x-Vt)・・・・・・・・・(5.9)

で与えられることがわかる。実際、(5.9)でx'=0とおくと(5.8)が得られる。ここでb(V)は相対的な速さVのみの関数である。慣性系S'とSの立場をとりかえ、変換(5.3)と(5.4)を行ってみると、(5.9)を導いた場合と同じ事情になるから、

・・・・・・・・・(5.9)'

という変換式を得る。この式に(5.3)と(5.4)を代入して変形すると

x = b(V)(x'+Vt')・・・・・・・・・(5.10)

を得る。(5.10)に(5.9)を代入して、t'について解くと

・・・・・・・・・(5.11)

となる。
 ここで光速不変の原理を用いてb(V)の関数形を求める。慣性系SとS'は真空中にあるものとする。時刻t=t'=0に原点O=O'にあった発光体が光を発したとする。光速不変の原理により、真空中の光に速さは光源の運動状態には無関係であるから、発光体はS上にあるとしても、S'上にあるとしても、どちらでもよい。光の先端は、Sでみると時間tののちには、原点Oを中心とする半径ctの球面上にある。球面上の一点の座標を(x, y, z)とすると、それは球面の方程式

x2+y2+z2-c2t2 = 0・・・・・・・・・(5.12)

をみたす。したがってx軸の正の方向へ進んだ光の先端のx座標は

x = ct・・・・・・・・・(5.13)

となる。
 一方この光をS'で観察すると、時間t'ののちに、光の先端は原点O'を中心とする半径ct'の球面上に達するから、この球面上の一点の座標を(x', y', z')とすると、球面方程式

x'2+y'2+z'2-c2t'2 = 0・・・・・・・・・(5.14)

を得る。したがって、x'軸の正の方向に進んだ光の先端のx'座標は

x' = ct'・・・・・・・・・(5.15)

となる。
 簡単のため、x'軸上で考え、光の先端が、SとS'の共通のx軸=x'軸上の空間の一点に到達したとする。その点の原点からの距離がSではx、S'ではx'である。またその時の時刻をSではt、S'ではt'であるとする。そのとき、x, tとx', t'との間には(5.9)と(5.11)で与えられる関係式が成り立つ。式(5.15)に(5.9)と(5.11)を代入し、さらにxを(5.13)により消去するとb(V)が求まり、

を得る。符号は、V=0のとき(5.9)が恒等式になることから定まり

・・・・・・・・・(5.16)

を得る。いまは簡単のためにx軸上で考えたが、y座標、z座標については(5.6),(5.7)によりy=y', z=z'である。これを用いれば(5.12),(5.14)と(5.11)を用いて、やはり(5.16)が導かれる(各自たしかめよ)。
 (5.16)を(5.9)と(5.11)に代入して

を得る。これらの式と(5.6),(5.7)をまとめて、ある事象のSとS'における時空座標の変換公式として

・・・・・・・・・(5.17)

を得る。これらの式をx, y, z, tについて解くと、逆変換の式

・・・・・・・・・(5.17')

を得る。逆変換(5.17')は(5.17)においてプライムをつけかえ、Vを-Vにおきかえて得られる。このことはS系とS'系の関係は相対的運動の方向が反対向きであることを除けば、互いに同等であることを意味している。
 変換の式(5.17)と(5.17')は、アインシュタインとは異なる考え方から、ローレンツが最初に導入した。このため、これらの変換公式はローレンツ変換(Lorentz transformation)とよばれている。
 ガリレイ変換とローレンツ変換との相違はV/cという量であらわされている。変換公式(5.17)でV/c=0とおくと、ガリレイ変換でVx=V, Vy= Vz=0とおいたものが得られる。光速cはわれわれが日常経験する速さVに比べてたいへん大きいので、V/cは非常に小さくなる。いわゆる古典力学で扱われる範囲では、c=∞, V/c=0とおいたガリレイ変換がよい精度で成立している。しかしながら原子核や素粒子の実験では光速に近い粒子を取り扱うので、特殊相対性理論の効果が基本的に重要になってくる。
 ローレンツ変換(5.17)は、tのかわりに長さの次元をもった量ctを使うと、xとctに対して同じ形の式になる。すなわち

・・・・(5.18)

となる。この形の変換を、慣性系Sのctを縦軸にして図示すると図5-3(a)のようになる。

図5-3 (a)ローレンツ変換と(b)ローレンツ逆変換

変換されたct'軸とx'軸の軌跡は(5.18)でそれぞれx'=0とct'=0とおいて得られる式x=(V/c)(ct)およびct=(V/c)xで与えられる。したがって、もとの座標軸と変換された座標軸とのなす二種類の角は等しくなる。その角をθとすると

tanθ = V/c

となる。この図のS'の座標系をみると直交座標になっていない。この空間ではx座標とct座標の間でピタゴラスの定理が成り立たないので、x軸とct軸のなす角度は特に意味をもっていない。そこで、x軸とct軸のなす角を直角とするかわりに、図5-3(b)のようにx'軸とct'軸のなす角を直角としてもよい。そのほうがローレンツの逆変換(5.17')をあらわすのには便利である。(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店より)

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