●世界距離

 空間座標の原点x=y=z=0をt=0に出発した光の先端がt秒後に到達する点の座標の方程式、すなわち光の球面波の式(5.12)は、すなわち

x2+y2+z2-c2t2 = 0・・・・・・・・・(5.19)

である。ローレンツ変換はこの式が任意の慣性系において成り立つことを要請して求められた。この式の左辺は、前節のはじめに導入した時空座標という概念で考えると、原点の時空座標(0, 0, 0, 0)と光の先端の世界点の時空座標(x, y, z, t)の差の関数である。一般に、二つの世界点PとQの時空座標(x1, y1, z1, t1)と(x2, y2, z2, t2)の差の関数として

s122 = (x2-x1)2+(y2-y2)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2・・・・・・・・・(5.20)

という量を考える。この式は、三次元空間の二点間の距離の二乗をピタゴラスの定理を使ってあらわした

r122 = (x2-x1)2+(y2-y2)2+(z2-z1)2

を、時間差の二乗を含めて拡張した式になっている。ここで、一般に時空座標で表される二つの世界点を結ぶ曲線を世界線(world line)とよぶ。物体が等速直線運動をするときの世界線は dr/dt=v=定数 であるから、直線となる。すなわち、空間的にx方向への一次元の速さvの等速直線運動はxを横軸、ctを縦軸にした図でx1, t1を定数、x2, t2を変数と考えれば、

x2-x1 = v(t2-t1) = (v/c)(ct2-ct1)

で表される直線となる。そこで(5.20)で表される量を、二つの世界点P(x1, y1, z1, t1)とQ(x2, y2, z2, t2)の間の世界距離(world distance)s12の二乗と定義する。そして、距離を(5.20)で定義した空間はミンコフスキーの世界(Minkowski world)とよばれている。
 時空座標(xi, yi, zi, ti), (i=1, 2)にローレンツ変換(5.17)を行ったとき、世界距離の二乗は慣性系によらない不変な形である。すなわち

s12'2 = (x2'-x1')2+(y2'-y1')2+(z2'-z1')2-c2(t2'-t1')2

=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2 = s122・・・・・・・・・(5.21)

となることがわかる(各自たしかめよ)。
 光の波面の式(5.19)で時空座標の原点を(x1, y1, z1, t1)にうつして考え、x2-x1=x, y2-y1=y, z2-z1=z, t2-t1=tと書くと、光の波面に対して成立する式(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2=0を得るから、(5.20)により光に対してはs12=0 が成り立つことになる。したがって、二つの世界点P(x1, y1, z1, t1)とQ(x2, y2, z2, t2)を光が通過する場合には、s12=0である。いいかえれば光で結ばれる二点の間の世界距離は0である。またこのときP(x1, y1, z1, t1)を固定してQ(x2, y2, z2, t2)を変数とみなすと、方程式

s122 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2 = 0・・・・・・・・・(5.22)

は四次元空間内の超円錐の方程式となる。この円錐を光円錐または光錐(light cone)という。平面内に四次元の図を描くことはできないから、xy面内に光が広がる場合に縦軸をct軸として図示すると図5-4のようになる。

図5-4 光円錐

 世界距離は三次元空間の距離の定義とは異なり、上述のように、光で結ばれる二点の間の世界距離は二点が空間的に離れていても0である。また世界距離の二乗は正の値をとることも負の値をとることもある。後者の場合、世界距離s12は純虚数になる。図5-5で、慣性系S'に固定した棒の長さをS'で時刻t1'=t2'に測定し、その両端AとBの空間座標を(x1', y1', z1')と(x2', y2', z2')とすると、その世界距離は、AとBのSの座標の値をそれぞれ(x1, y1, z1, t1)と(x2, y2, z2, t2)として

s122 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2

= (x2'-x1')2+(y2'-y1')2+(z2'-z1')2 > 0・・・・・・・・・(5.23)

となる。このときはs12は実数である。

図5-5 世界距離の分類

 一方、慣性系S'の空間の一点に静止している時計を考えると空間座標は時間が経過しても変化しないからx2'=x1', y2'=y1', z2'=z1'となる。したがって時計が時刻t1'を示す世界点Cと時刻t2'を示す世界点Dの世界距離の二乗はCとDのSの座標をそれぞれ(x1, y1, z1, t1)と(x2, y2, z2, t2)として

s122 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2

= -c2(t2'-t1')2 < 0・・・・・・・・・(5.24)

となる。このときs12は純虚数である。

 世界距離はローレンツ変換に対して不変な量であるから、世界距離の二乗が正、負または0であるという性質は、ローレンツ変換によって互いに移り変わることのない、ローレンツ不変な概念である。そこで世界距離の二乗が正、負または0であることによって分類し、それぞれの場合の世界距離(あるいは二点の関係)を空間的(space-like)、時間的(time-like)および光的(light-like)であるという。すなわち

・・・(5.25)

とする。光速以下の運動はつねに時間的である。
 微小な世界距離の二乗は、微分を使って

ds2 = dx2+dy2+dz2-c2dt2 ・・・・・・・・・(5.26)

とあらわされる。  


 

固有時間  

 慣性系S'に静止している時計における二つの世界点t1'とt2'の間の世界距離は、(5.24)により

s122 = s12'2 = -c2(t2'-t1')2

となる。この式の左辺はローレンツ変換のもとで不変な量であるから、右辺の t2'-t1' もローレンツ変換時のもとで不変な量である。このように時計に対して相対的に静止している慣性系 S' で測定した経過時間 t2'-t1' は、時計に対して固有な時間であるので、固有時間(proper time)という。固有時間に対して、時計に対して静止していない一般の慣性系で世界点(x, y, z, t)を表す時間座標としての時間tの間隔をt2-t1とすると、(5.24)から

c2(t2-t1)2 = c2(t2'-t1')2+(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

したがって

c2(t2-t1)2 ≧ c2(t2'-t1')2

という関係式を得る。この時間t2-t1は採用する座標系によってちがうので、座標時間(coordinate time)とよばれる。
 固有時間を変数τ(タウ)であらわすと

τ122 = -s122/c2 ・・・・・・・・・(5.27)

とかける。特に光に対してはs12=0であるから、光の固有時間はτ12=0である。いいかえれば、光と共に進む座標系では時間は経過しない。
 光速以下の運動、すなわち世界距離が時間的な場合は、(5.27)と(5.24)を比べてみるとわかるように、τ122は正となる。したがって、τ12は実数となるが、そのときのτ12の正負をt2-t1の正負で定めることにする。すなわち

・・・・・・・・・(5.28)
とする。微小距離のときには

すなわち

・・・・・・・・・(5.29)

とあらわされる。ここで

とおいた。

 時空座標であらわされるミンコフスキーの世界の四次元空間では、世界距離が互いに時間的である3時空点P1, P2, P3の固有時間に関して、ユークリッド空間のときと比べて逆向きの三角不等式が成り立つことを証明できる。すなわち、

t1 < t2 < t3・・・・・・・・・(5.30)

のときに、不等式

τ13 ≧ τ1223・・・・・・・・・(5.31)

が成り立つ。これをミンコフスキーの不等式という。四次元空間内の三角形は平面図形であるから、座標系を適当にとると、x軸とct軸でつくられる平面内で考えることができ、図5-6のようにかける。等号は三つの時空点P1, P2, P3が同一の直線世界線上にあるときにのみ成り立つ。

図5-6 時間的世界距離の固有時間。実線は
時間的世界線、破線は光的世界線である。 

 時間的まわり道の極限として光的世界線をたどれば、固有時間は0となる。このような経路としては、たとえば図5-6のようにx軸に鏡を置いておいたと考えたとき、P1を出た光が反射されてP3に到達するように途中の点P2'(x2', t2')を選べばよい。このような光の道に対しては(5.31)式の右辺は0になり、図5-6の他の経路についてはこの不等式が成り立つことが理解できるであろう。
 光速以下の運動の曲線はつねに時間的である。上に述べた三角不等式を一般化すると、点P1かP3までの直線をたどるよりも、曲線をたどってP1からP3へ到達する方が固有時間の総計は少なくなることがわかる。それを示すには、曲線の折線近似をして、各小三角形についての三角不等式を積み重ねればよい。(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店より)

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