●運動している時計の遅れ

 運動してる時計の遅れを解析的に調べよう。慣性系Sに固定されている時計と、Sに対して速度Vで移動している慣性系S'に固定されている時計の進み方の比較をしてみる。座標系は

の場合と同様にt=t'=0のとき一致していて、S'はSのx軸の正の方向へ進むものとする。

図5-7 運動している時計

図5-7のように慣性系Sのx軸上の2点x1とx2に、それぞれ時計C1とC2が置かれており、それらは光の信号を使ってあわせてあるとする。慣性系S'のx'軸上の1点x0'には時計C'が固定されている。慣性系S'上の点x0'がS上の点x1を通過する瞬間にC1とC'の示す時刻をそれぞれt1とt1'とする。それらの時刻は、ローレンツ変換(5.17')

の第4式により

・・・・・(5.32)

という関係式をみたしている。つぎにx0'がx2を通過するときのC2とC'の示す時刻をt2とt2'とすると、同様にして

・・・・・(5.33)

となる。慣性系S'の1点x0'がSの2点x1とx2の間を通過するのに要する時間を測定するとΔtであり、S'の時計で測定するとΔt'であるとする。それらは、Δt=t2-t1とΔt'=t2'-t1'で与えられる。これらの時間の間の関係を(5.32)と(5.33)から求めると

すなわち

・・・・・(5.34)

を得る。
 関係式(5.34)で<1であるから、不等式

Δt>Δt'

が導かれる。すなわちSに対して速度Vで動いている時計は、Sの時計にくらべてゆっくり進んでいることになる。このように時間の進み方は慣性系によって異なり、時計の動く速さVの関数になる。ここで注意を必要とするのは、Δt'は同一の時計C'で測定された時間であるが、Δtは慣性系S上の異なる場所に置かれた2個の時計C1とC2で測定されていることである。すなわちΔt'は時計C'の固有時間であるが、Δtは座標を指定して、はじめて定められる座標時間である。固有時間の定義

s122 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2

= -c2(t2'-t1')2 < 0

によれば

となる。これは(5.34)を書き換えた式になっている。

 

【例題】
  光速を測定するために工夫されたフィゾーやフーコーの装置は、光速が知られている場合に時間を測定する時計である考えることができる。この装置と光速度不変の原理から運動している時計の遅れを導け。

【解】

  慣性系S'に固定された、y'方向に光を往復させる装置を考える。図(a)のように光源Lをy'=0の点に置き、y'=lの位置に反射鏡Mが置いてあるとする。慣性系S'で、光がこの装置を往復する時間をΔt'とすると、光速をcとして

Δt'=2l/c

となる。ここで、S'は慣性系Sに対しx方向に速度Vで動いているとし、この現象をSから観測する。図(b)で示すように、光がLを出て鏡Mに到達する時間をSで測ってΔt/2とすると、その間に鏡MはVΔt/2だけx軸の正方向へ移動する(このときy座標は不変であるから、鏡Mのy座標はy=y'=lである)。したがってSで観測するとき、光がLからMに到達するまでに進む距離は、ピタゴラスの定理により

である。光の速さは光源の運動に無関係であるから、Sでもcである。したがって

となる。この式をΔtについて解くと、Δt>0であるから符号が定まり

となる。この関係式は(5.34)と同じものである。(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店より)

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