●運動している物体の収縮

 運動している物体は縮んで観測される。これを解析的に調べよう。簡単のために空間はx軸のみの1次元で考えると、時空を表す座標とローレンツ変換は図5-3

 図5-3 (a)ローレンツ変換と(b)ローレンツ逆変換

のように表される。この図で、Sの空間座標の原点に固定された物体が時間が進むにつれて描く世界線は、ct軸上の直線である。また慣性系Sに対してx軸上の正方向へ速さVで移動している慣性系S'の空間座標の原点に固定された物体の描く世界線は、ct'軸上の直線である。一般にSに固定された物体の描く世界線はct軸に平行な直線で、S'に固定された物体の描く世界線はct'軸に平行な直線である。慣性系Sで定義される同時刻はct=一定、すなわちx軸に平行な直線上の点で表される。慣性系S'で定義される同時刻はct'=一定、すなわちx'軸に平行な直線上の点で表される(図5-9)。

図5-9 ローレンツ変換


 いま長さl0の直線状の棒をS'の空間座標のx'軸上に固定して、両端の位置をAおよびBとする。点Aのx'座標をx1'、点Bのx'座標をx2'とすると、棒はx'座標上に固定されているのであるからx1'とx2'は定数である。したがって上述のように、AとBの描く世界線はct'軸に平行な直線で図5-9のように表される。また、それらの直線の方程式は(5.17)

の第1式の左辺を定数において、それぞれ

となる。ここでxi'は定数であるが、xi, ti(i=1, 2)は変数である。棒の両端のS系におけるx座標は時間tiが変化するのにつれて、式

・・・・・・(5.36)

に従って変化する。慣性系S'の観測者が棒の長さを測定するときには、物差しを直接棒にあてて測定できるから、時間には関係なく、いつも長さは

l0=x2'-x1'・・・・・・(5.37)

で与えられる。座標系に静止した時計がきざむ時間を固有時間といったのにたいして、l0固有の長さといってよいものである。
 一方、慣性系Sから、S'上に固定された棒の長さを測定しようとすると、棒の両端は方程式(5.36)に従って移動するので、時刻を指定して測定する必要がある。測定の時刻をt1=t2=tとして(5.36)に代入し、慣性系Sで測定した棒の長さをlとすると

となる。この式に(5.37)に代入すると

 ・・・・・・(5.38)

となる。これは、ローレンツ収縮を表す。すなわち速さVで動いている棒の長さは、進行方向に(5.38)の割合で縮むことになる。
 運動方向に対して垂直に慣性系S'に固定されている棒、すなわちy'z'面内に固定された棒はSで観測しても収縮はおこらない。そのことはローレンツ変換(5.17)の第2と第3の式でyおよびz座標は不変なことからわかる。したがって3次元的物体を考えると、運動方向にのみローレンツ収縮がおこり、それに垂直な2方向には収縮しない。そこでS'に固定されている物体の体積をΩ0としたとき、その物体の体積をSで測定してΩであったとすると

という関係式を得る。

【例題】
 運動している物体のローレンツ収縮を、運動している時計の遅れの現象を用いて説明せよ。

【解】
 こういう場合は図5-7と同じ装置を考える。慣性系S上の時計C1のx座標をx1、時計C2のx座標をx2とすれば、S上で測った2点間の距離l0

l0=x2-x1

である。

図5-10 時計によるローレンツ収縮の測定

 さて、Sに対し速さVでxの正の向きに運動しているS'上の時計C'のところにいる観測者が図5-10(a)のように、時計C1の置かれている点を通過しているから、図5-10(b)のように時計C'が時計C2の置かれている点を通過するまでの時間Δt'=t2'-t1'を測定する。この時間をSで測定した値Δt=t2-t1とS'で測定した値Δt'の間の関係は、式(5.34)から

・・・・・・(5.40)

となる。この出来事をSで考えると、距離l0の間を時計C'が速さVで通過するのだから

Δt=l0/V・・・・・・(5.41)

である。一方慣性系S'にいる観測者にとっては、S系はx'の負の向きに速さVで運動していて、図5-10(c)のようにSに固定された時計C1が通過してから、時間Δt'のちに、図5-10(d)のように同じくSに固定された時計C2が通過するわけであるから、C1とC2

l=VΔt'・・・・・・(5.42)

であると判断する。式(5.42)に(5.40)と(5.41)を順を追って代入すると

となり、(5.38)と同じ式が得られる。


ミンコフスキーの世界の図における長さの単位

 基準系Sにおける(x, ct)面では、原点からの世界距離が1の軌跡はx2-c2t2=1で与えられる(『世界距離』参照のこと)。これは下の図(a)のようにt=0, x=1を通る双曲線である。S系に対して速度Vで動いているS'系は斜交軸系(x', ct')で表される。ローレンツ変換S→S'においてx2-c2t2は不変であるから、この双曲線はそのままx'2-c2t'2=1をも表している。したがって長さの単位は図のようにS系とS'系で異なる。図にはx2-c2t2=4(x'2-c2t'2=4)も示してある。

ミンコフスキーの世界の図における長さの単位

 このミンコフスキーの世界の図はローレンツ収縮を幾何学的に与える。S'系に固定された長さl0=1の棒の一端(図5-9のA)が原点にあるとすると、他端の世界線は上図(b)でBを通りct'平行な直線(双曲線の接する)BCで与えられ、図でがS系で見た棒の長さである。
 時間の長さの単位についても同様な幾何学的な考察ができる。(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店より)

[前ページへ][ホームへ][目次へ][次ページへ]