●速度の合成

 ガリレイ変換から導かれる速度の変換の公式は、光速不変の原理をみたしておらず、相対性原理では成り立たない。ローレンツ変換を行ったときに、物体の速度がどのように変換されるのか、その関係式を見出すことにする。
 慣性系SとS'の座標軸は平行で、S'はSのx軸の正の方向へ速さVで移動しているとする。物体の速度を

とする。ガリレイ変換のときには、分子のdrのみが変換を受け、dtは不変であった。しかしローレンツ変換の場合には、(5.17)からも明らかなように、時間も変換を受けるので、分母dtも変換を受けることになる。(5.17)から、微分の変換を成分ごとに求めると

となる。慣性系S'で観測するときの粒子の速度をv'=dr'/dt'と書くと、その成分の間の変換の公式はdr'=(dx', dy', dz')の各成分をdt'でわれば求められる。たとえば上式から

したがって

・・・(5.43)

を得る。ガリレイ変換のときに比べるとだいぶ複雑な形をしているが、光速cを無限大とみなしてc→∞の極限をとると、ガリレイ変換のときと一致することは容易にたしかめられる。

速度の合成
 理解をたすけるために速度vがx軸に平行で、vxもvx'もx軸の正方向の特別な特別な場合を考えてみよう。vv'の大きさをそれぞれvとv'と書くと、そのときにはvx=v, vy=vz=0, vx'=v', vy'=vz'=0となるから、すこし簡単な形の公式

を得る。この式をvについて解くと

・・・(5.44)

となり、同じ方向の速度の合成の公式が得られる。この公式は、たとえば、慣性系Sに対してx軸の正の方向へ速さVで走っているロケットから、速さv'でロケット砲を前方へ発射したときのSから見た合成速度の大きさをあらわしている。
 ガリレイ変換では速度の合成は単なる足し算であったから、原理的にはいくらでも大きい速度を得ることができた。しかし公式(5.44)には分母にもVとv'が入ってくるので、速度に上限ができる。そのことを見やすくするために(5.44)を変形して

と書いてみる。光速cにくらべてv'とVのどちらも小さいときには

(1-v'/c)(1-V/c)>0

となる。したがってvはcから正の量を差し引いた量であるから、合成した速度の大きさvは光速cよりも小さくなり、光速以下の速さをいくら合成しても光速cを超すことができないことがわかる。またたとえば、速さVのロケットから光を発射したときはv'=cであるが、発射された光の速さもv=cとなり、これは当然のことながら光速不変の法則をあらわしている。


速度の変換
 座標系Sからx方向に速度Vで動いている座標系S'に移ったときの速度の変換公式(5.43)をもう少しくわしく調べてみよう。簡単のため、粒子の速度vがxy面内にあるように座標軸をえらぶ。このときvz=0となる。

図5.11 平面内の運動

したがって(5.43)の第3式からvz'=0を得るから、v'もx'y'平面内にあることになる。速度vの方向とx軸のなす角をθ、速度v'の方向とx'軸のなす角をθ'とする(図5.11)。速度の成分は、Sでは  

vx=v cosθ,  vy=v sinθ,  vz=0

S'では

vx'=v' cosθ',  vy'=v sinθ',  vz'=0

とかける。これらの値を(5.43)に代入して

・・・(5.45)

を得る。これらの2式から速度の方向の変換公式

と速度の大きさの変換公式

・・・(5.47)

が導かれる。

光行差
 特に速度vが光速の場合は、(5.47)でv=cとおくと、光速不変の原理をあらわす式v'=cがふたたび得られるので、(5.45)は

・・・(5.48)

となる。これは慣性系の間の光の傾きの角度の変換公式で、光行差をあらわしている。

【例題】
ブラッドレーの光行差の式tanΔθ=V/cを導け。

【解】
光速にくらべて慣性系の間の相対速度が小さい場合には、V/cの精度で(5.48)の第2式を近似すれば

となる。したがって

を得る。慣性系の間の光の入射角の差Δθ=θ'-θを使うと、V/cの精度で となるので、同じ近似で

となる。最大の光行差はθ=π/2のときおこる。このとき

となり、V/cの精度でtanΔθ=V/cに一致する。この現象は、ブラッドレーによってはじめて見出された。(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店より)

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