●光のドップラー効果

 電車の鳴らす警笛や、救急車の鳴らすサイレンの音の高さは、音源が近づくときと遠ざかるときに変化する。これは日常しばしば経験することで、音のドップラー効果としてよく知られている。音の場合には、空気という媒質があるために、静止している観測者に音源が近づいてくるときと、静止している音源に観測者が近づいてゆくときとでは公式が異なる。
 簡単のため風は吹いていない場合を考えよう。音速をvとし、音源が周波数ν0の音を発しているときとする。静止している観測者に音源が速さVで近づいて来るときに観測者が聞く音の振動数νは

で与えられる。逆に静止している音源に速さVで近づいている観測者が聞く音の振動数νは

となる。遠ざかるときの公式は、それぞれVの前の符号を変えれば得られる。
 音の場合と異なり、真空中の波動を考えるときには、空気のような媒質がない。したがって波源が運動しているのか、観測者が運動しているのかの区別はなく、ただ相対速度のみによってドップラー効果がきまる。慣性系Sで、単位ベクトルnの方向へ進んでいる平面波を考える。振動数をν、角周波数をω、波数ベクトルをk、光の伝わる速さをcとかくと、それらの間には

ω=2πν, k=(ω/c)n

という関係がある。波動を正弦関数であらわし、時空座標の原点における位相が0になるように座標系を求めると、振幅は

sin(ωt-kr)=sin(ωt-kxx-kyy-kzz)・・・・・・・(5.50)

に比例する。
 さて、いま慣性系Sのx軸の正の方向へ速さVで進んでいる慣性系S'を考え、S'の座標を、t'=t=0のときSの座標と一致するようにとる。慣性系S'で、この波を観測したときに測定される角周波数をω'、波数ベクトルをk'とし、(5.50)と同じ位相の点の時空間座標を(x', y', z', t')とすれば、

ω't'-kx'x'-ky'y'-kz'z'=ωt-kxx-kyy-kzz

となる。この式の右辺に(5.17')を代入すると

となる。この式の最左辺と最右辺を比較すると、周波数と波数の変換公式

・・・・・・・(5.51)

を得る。

波数ベクトルkとその成分kx

 慣性系Sにおけるkとx軸とのなす角をθ、S'におけるk'とx'軸とのなす角をθ'とすると、

であるから、(5.51)のはじめの2式は

となる。この第2式は、光行差の公式(5.48)の第1式を代入すれば第1式と等しくなる。したがって振動数ν'=ω'/2π、ν=ω/2πを用いると、振動数の間の変換公式として

を得る。
 上では光源がSにあるともS'にあるとも指定しなかったが、ここで光源がS'に固定されていて、振動数ν0の光を出している場合を考えよう。その光Sに静止している観測者が測定する振動数をνとすると、上式でν'をν0とおけばよい。定義のより光源Lの進行方向がx軸の正の方向で、観測者からみて光の進行方向とx軸の正の方向のなす角がθ、光源と観測者の相対的な速さがVであるから、図5-13(a)のようになる。このとき振動数の変換公式は

となる。あるいはνについてといて

を得る。この振動数の変化を光のドップラー効果という。

図5-13 光のドップラー効果

 縦ドップラー効果 これをいくつかの特別な場合について、すこし具体的に考察してみよう。まず光源Lrが観測者Oと結ぶ線上を速さVで遠ざかっていることには、θ=180°でcosθ=-1となり(図5-13(b))

・・・・・・・(5.53)

となる。この効果を縦ドップラー効果(longitudinal Doppler effect)という。この場合観測される振動数は光源の静止系における振動数、すなわち固有振動数より小さくなる。したがって可視光線の場合には、スペクトル線が赤色の方向へずれるので、赤方偏移(red shift)とよばれる。星雲からくる光のスペクトルを測定すると、われわれから星雲までの距離が遠くなればなるほど、光の振動数の小さい方へのずれ、赤方偏移が大きくなることが観測されている。赤方偏移の研究からハッブル(Edwin Hubble)は星雲の後退速度が銀河系外星雲までの距離に比例することを発見し1926年に発表した。これは宇宙が膨張していることを示すものであり、現在の宇宙構造論に大きな意義をもつ発見であった。
 光源Laが観測者Oと結ぶ線上を速さVで近づくときには、θ=0°であるからcosθ=1となり(図5-13(c)),

・・・・・・・(5.54)

となる。この効果も縦ドップラー効果であるが、この場合は光源の固有振動数より観測される振動数の方が大きくなる。したがって可視光線の場合には、スペクトル線が青色の方向へずれるので青方偏移(blue shift)とよばれる。 

 横ドップラー効果 光源Ltが観測者Oと結ぶ線と直角をなす方向へ速さVで移動しているときには、θ=90°であるからcosθ=0となり(図5-13(d))、

・・・・・・・(5.55)

を得る。この効果は横ドップラー効果(transverse Doppler effect)とよばれる。この効果は非相対論的(non-relativistic)ドップラー効果ではあらわれない効果である。光源と観測者の相対距離は変化しないのにドップラー効果がおこるのは、光源が固有時間間隔dτの間に送り出す光の波の数を、観測者は座標時間間隔dtの間に受けとめるためである。固有時間と座標時間の間の関係で(5.29)でv=Vとおいた式

が成り立つ。光源がdτの間に送り出す光の波の数をdnとすると

となるから(5.55)と一致する。このような横ドップラー効果は、固有時間と座標時間の違いに起因する、相対性理論に固有な現象であり、実験室内で加速された原子の出す光の精密な測定によって確かめられている。  

 [例題] 光源の固有振動数のかわりに横ドップラー効果の振動数Vtを使うと、縦ドップラー効果(5.53)と(5.54)はそれぞれ

・・・・・・・(5.56)

および

・・・・・・・(5.57)

となる。これらは、観測者が静止しているときに音源が観測者から遠ざかるときと近づくときの、音のドップラー効果とおなじ形である。このことを考察せよ。

 [解] 光源が1個の波を出してからつぎつぎの波を出すまでの時間を、光源の時間で測定してt0、観測者の時間で測定してtとすると、

となる。光源と観測者との距離は時間tの間にtVだけ変化する。したがって1個の波が光速cで観測者に到着してからつぎの波が到着するまでの時間は、遠ざかるときTr=t+tV/c=t(1+Vc)、近づくときはTa=t-tV/c=t(1-Vc)となる。これらの時間の逆数を取ればνr=1/Tr、νa=1/Taとなり、それぞれ(5.56)と(5.57)を得る。(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店より)

[前ページへ][ホームへ][目次へ][次ページへ]