●固有時間とミンコフスキーの定理

 時空図上の点A、B、Cを考える。位置Aに時計を置き、時刻Aから動かし始め、時刻Bに位置Bに到達したとする。その間に時計が進んだ時間を2点AB間の「固有時間」と呼ぶ。

 このようにして時空上に様々な2点間に、固有時間というものが定義できる。時計が動いていなければ、つまり位置が同じ場合は(時計Aと時計C)、固有時間は、もちろん時刻Aと時刻Cの差である、しかし、時計が動いているときは、時間の遅れがあるので固有時間はそれよりも短い(時計Aと時計B)。
 では、固有時間は、どのような式で計算すればいいのだろうか。距離を計算するときに使えるのが、ピタゴラスの定理であるように、固有時間を求めるときに使うのが、次のミンコフスキーの定理である。その定理によれば、

(AB間の固有時間)2=(AB間の時間の差)2−(AB間の位置の差/c)2

である。(cは光速度)。
 この式から、簡単にわかることは、時計Aと時計Cは、位置が同じなので、上の定理の「AC間の位置の差」がゼロになり、

(AC間の固有時間)=(AC間の時間の差)

となる、つまり、時計はまったく移動してないので、針は時間の差だけ動くという当たり前の結果になる。しかし、少しでも位置が変わっていれば、その分を差し引かなければならない。だから、時計の針の移動(固有時間)は、時間の差よりも少なくなる。まさに、「動いている時計は遅れる」のだ。
 たとえば、AB間の時間の差が1秒だとする。また、時計がAからBに進む速度を秒速vだとしよう。すると1秒間動いたときの時の時計の位置の差は、vである。これをミンコフスキーの定理の式に代入すれば、

(AB間の固有時間)2=12-(v/c)2
 =1-v2/c2

固有時間(=時計の針の動き)を求めるには、右辺のルート(平方根)を求めればいいので、となる。上の時空図で言えば、時計AC間の時間の差が1秒であったとき、その針は秒しか動いていない。つまり、1秒より少なく、時計は遅れている。これはローレンツ変換による時間の変換に一致する。
 時空図では、時計AB間の方が、時計AC間より長いのに、AB間の固有時間の方が短いことに注意しよう。つまり、時空図に物差しをあてて計っても時間の進み方(遅れ方)は、わからない。
 ミンコフスキーの定理を使えば、光速度不変性自体も導ける。つまり、「ある基準」で見て速度cで動いているものは、(ミンコフスキーの定理が成り立つ)他の「どの基準」でみても速度cで動いている。その理由を説明しよう。ある基準で速度cで動いているものが、時空のAからBへ動いたとする。速度cで動いているのだから、AB間の位置の差と時間の差の関係は、

位置の差=時間の差×c

となる。これをミンコフスキーの定理の式に代入すれば、AB間の固有時間は「0」になる。固有時間は、基準の取り方によらない数だ。したがって、別の基準で計算しても固有時間は0になる。ところで、ミンコフスキーの定理とは時空の基本的性質であり、どの基準でも成り立つ。したがって、固有時間が0ならば、別の基準でも、

AB間の時間の差=AB間の位置の差/c

でなければならない。この基準でみても、このものがAB間を速度cで動いているという式に他ならない。これが光速度不変性である。(図解雑学 時空図で理解する相対性理論 ナツメ社より)
 

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