●第1章 幾何学的諸定理の物理的内容(Physikalischer Inhalt geometrischer Sätze)

 愛する読者よ、君が、あのいかめしいユークリッド幾何学の体系を知るようになったのは、きっと少年あるいは少女のころだったと思う。そして、もしかしたら、君はそのいかめしい(ユークリッド幾何学という)建物(Bau)のことを愛着より尊敬の念でもって思い出すかもしれない。君は、その建物の高い階段(hohen Treppen)を、誠実な専門教師から、数え切れないほどの時間をかけて、駆けずり回されたかもしれない。君は、きっと、君のこの体験からして、この学問の枝葉末節にすぎないほんの小さな定理でさえも、それが正しくないとなどと言う者がいたなら、その人を軽蔑のまなざしで見るだろう。しかし、この感情、つまり、いかめしい確かさがもたらすこの感情(diese Gefühl stolzer Sicherheit)は、誰かが君にこう尋ねたとき、もしかしたら、あっという間に、消え去るかも知れない・・・「これらの諸定理が正しいという主張で、君はいったい、何をいいたいのだ?」・・・この問いをめぐって、われわれは、少し考えてみたいと思う。
 幾何学は、平面、点、直線のような確かな基本概念から出発する。われわれは、それらの基本概念と、多少は問わず、はっきりした確かな表象(Vorstellung)を結びつけることができる。また、幾何学は、確かな単純な定理(公理:Axiomen)から出発する。われわれは、前述の表象を基礎にして、その公理が「真」であるということを受け取る気になる。それから、その他の定理はすべて、その妥当性を認めざるを得ないと感じる論理的な方法を基礎にして、前述の公理に帰せられる(すなわち)証明される。「定理」は、もっともだと思われる方法で、公理から導かれるとき、正しい、または「真」である。よって、個々の幾何学的定理が「真」であるかどうかは、公理が「真」であるかという問いに帰せられる。しかし、長い間、この問い(公理が「真」であるかという問い)は、幾何学の方法によっては答えられないばかりでなく、問いそれ自体が、無意味であると考えられてきた。二点を通って、ただ一本の直線が引ける、ということが真かどうかを問うことはできない。ただ、ユークリッド幾何学が「直線」と呼ぶ形成物(Gebilde)を取り扱い、そして直線には、幾何学上の二点によって一義的に決定されるという性質が与えられている(beiliegen)としかいえなのである。「真」という概念は、純幾何学の表現として、ふさわしいものではない。というのは、われわれは「真」という言葉でもって、最後には(in letzter Linie)「実在」の対象との合致(Übereinstimmung)を言い表すのが、つねである。しかし、幾何学は、その概念の、経験の諸対象との関係ではなく、これらの概念どうしの論理的な関係を、取り扱うからである。
 われわれが、それにもかかわらず、幾何学的諸定理が「真」であるとみなすことに心が引きつけられる事は、容易に説明できる。幾何学の概念には、多かれ少なかれ自然における明確な対象が対応しており、こうした対象が、幾何学的概念の唯一の成因(die alleinige Ursache für die Entstehung jener Begriffe)になっていることは疑いないからである。幾何学は、その構造に、最大の論理的一貫性(größtmögliche logische Geschlossenheit)を与えんがためには、そのこと(幾何学の概念を自然における明確な対象に対応させること以下)を断念するほうがよいのだが。なんとなれば、たとえば、一本の線分において一つの実際の剛体(訳注 starrer Körper:固い物体、十分大きな力を加えても体積・形状を変えないと仮想された物体。固体など)の上に二つの印されうる位置(zwei markierte Stellen)を見るという癖は、われわれが思考するときの癖(Denkgewohnheiten:思考習性)に、深く突き刺さっている。われわれは、さらに、三つの位置(drei Orte)を、その見かけ上の位置(scheinbare Sehorte)をば、観測位置を適切に選ぶことによって片方の目で見て重ならせることができる(zusammenfallen lassen können)とき、直線上にあると受け取ることに慣れている(金子務訳『さらにわれわれの習慣では、観測位置を適当に選ぶことによって、三点の見かけの位置を片目で見通して一致させることができれば、それは一直線上に存在する、と見なす』)。
 もし、われわれが、思考上の癖(Denkgewohnheit:思考習性)に従って、ユークリッド幾何学的諸定理に、実際の剛体における二点には、たとえその剛体にどのようなラーゲ変化(Lagenänderungen :訳注:これは造語である:位置や状態の変化)を与えようとも、つねに、同じ間隔(線分)が対応するという一定理を付け加えるとしよう。そうすると、ユークリッド幾何学の諸定理から、実際の剛体がとりうる相対的なラーゲルング(Lagerung:在庫、貯蔵)についての諸定理が生じる*(金子務訳『われわれの思考習性に従って、ユークリッド幾何学の諸定理に一つの定理、すなわち実際の剛体につけた二点には、たとえ剛体がどのように姿勢を変えようとも、つねに同じ間隔(線分)が対応する、という定理を付け加えるとしよう。そうすると、ユークリッド幾何学の諸定理から、実際の剛体がとりうる相対的な位置についての諸定理が導かれるのである』)。かくのごとく補われた幾何学は、したがって、物理学の一つの枝(Zweig:部門)として扱われなければらない。いまや、このように解釈された幾何学的諸定理は、その「真」を正当に問われうる。というのは、われわれが幾何学的定理を秩序づけたその実在物にたいして、ユークリッド幾何学の定理が当てはまるかどうかを問うことができるからである。少しばかり正確ではないが、われわれは、以下のようにいうことができる。すなわち、われわれは、幾何学的定理上の「真」については、上の意味で、その正当性を、コンパスと定規を用いた作図によって理解する(..., daß wir unter der "Wahrheit" eines geometrischen Satzes in diesem Sinne sein Zutreffen bei einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal verstehen. 金子務訳『幾何学の一定理がその意味において「真」であるということは、コンパスと定規による作図と一致することである』)。
 幾何学的諸定理が、この意味において「真」であることを証明するには、当然のことだが、もっぱらかなり不完全な経験に基づくしかない。われわれは、あとにでてくる考察(一般相対性理論)の最後の部分で、幾何学的諸定理の真理に限界があること、そして、どの程度まで、限界があるかを見るまでは、さしあたって、幾何学的諸定理が真であるということを仮定することになろう。  

*この場合、また直線にも自然の対象は秩序づけられている。与えられた点Aと点Cに関して、距離ABと距離BCの和が、できるだけ小さくなるように点Bを選べば、剛体上の三点A、B、Cは一直線になる。このような不完全な示し方でも、こうした関係においては十分であろう。(特殊および一般相対性理論について アルバート・アインシュタイン KM訳 1916年より)  

 訳注:このパラグラフは「幾何学とは何か?(幾何学と物理学の関係)」を説明しながら、相対性理論が「非ユークリッド幾何学」によって記述されることを予告している。

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